初中几何证明题【绝对经典】

-1-（如图2）NMACEFB（如图3）MNEACFB（如图1)NMFAEBC几何证明1.点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作ABE和BCF，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN，MN．(1)若ABE和FBC是等腰直角三角形，且090FBCABE(如图1)，则MBN是三角形．(2)在ABE和BCF中，若BA=BE,BC=BF,且FBCABE，(如图2)，则MBN是三角形，且MBN.(3)若将(2)中的ABE绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.-2-2.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于Q.探究：设A、P两点间的距离为x.(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由.QPDCBA-3-3.(1)如图1，四边形ABCD中，CBAB，60ABC，120ADC，请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，四边形ABCD中，BCAB，60ABC，若点P为四边形ABCD内一点，且120APD，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论．图2图１-4-4.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD.求证:EF＝BE＋FD;FEDCBA图1图2图3(2)如图2在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.(3)如图25-3在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.-5-5.以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90,BADCAE连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置及数量关系．(1)如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；(2)将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．-6-6.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF=90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．（1）若m=n时，如图，求证：EF=AE；（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF=AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若m=tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF=（t+1）AE成立？并求出点E的坐标．xOEBAyCFxOEBAyCFxOEBAyCF-7-7.如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=▲°，猜想∠QFC=▲°；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=32，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．图1ACBEQFP图2ABEQPFC-8-8.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？-9-9．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝21BD，EN＝21CE，得到图③，请解答下列问题：(1)若AB＝AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是________________；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB＝k·AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．-10-（如图3）MNEACFB1、解：（1）等腰直角（2）等腰（3）结论仍然成立证明：在ABFEBC和中，BABEABFEBCBFBC∴△ABF≌△EBC.∴AF=CE.∠AFB=∠ECB∵M,N分别是AF、CE的中点,∴FM=CN.∴△MFB≌△NCB.∴BM=BN.∠MBF=∠NBC∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=2、解：（1）PQ=PB过P点作MN∥BC分别交AB、DC于点M、N在正方形ABCD中，AC为对角线∴AM=PM又∵AB=MN∴MB=PN∵∠BPQ=900∴∠BPM＋∠NPQ=900又∵∠MBP＋∠BPM=900∴∠MBP=∠NPQ∴Rt△MBP≌Rt△NPQ,∴PB=PQ（2）∵S四边形PBCQ=S△PBC＋S△PCQ∵AP=x∴AM=22x∴CQ=CD－2NQ=1－2x又∵S△PBC=21BC·BM=21·1·(1－22x)=21-42xNMQPDCBA-11-S△PCQ=21CQ·PN=21(1－2x)·(1－22x)=221x－x423＋21∴S四边形PBCQ=221x－2x＋1.(0≤x≤22)(3)△PCQ可能成为等腰三角形.①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，PQ=QC，此时，x=0.②当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，有：QN=AM=PM=x22，CP=2－x,CN=CP22=1－x22CQ=QN－CN=x22－（1－x22）=2x－1∴当2－x=x2－1时，x=13、解：（1）如图１，延长CD至E，使DADE．可证明EAD是等边三角形．联结AC，可证明BAD≌CAE．故BDCECDDECDAD．（2）如图２，在四边形ABCD外侧作正三角形DBA，NMQPDCBA图1图2-12-可证明CBA≌ADB，得DBCB．∵四边形DPBA符合（1）中条件，∴PDAPPB．联结CB，ⅰ）若满足题中条件的点P在CB上，则PCBPCB．∴PCPDAPCB．∴PCPDPABD．ⅱ）若满足题中条件的点P不在CB上，∵PCBPCB，∴PCPDAPCB．∴PCPDPABD．综上，PCPDPABD．4、答案（1）证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG.∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝90°,AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴AG＝AF,∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE＋FD(2)(1)中的结论EF=BE＋FD仍然成立.（3）结论EF=BE＋FD不成立，应当是EF=BE－FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴∠BAG＝∠DAF,AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF-13-∵EG=BE－BG∴EF=BE－FD．5、答案：解：（1）DEAM，12AMDE（2）结论仍然成立。证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连结BF．,BADAAFEA，90BAFDAFEAD．在FAB与EAD中：DABAEADBAFAEFAFABEAD(SAS).BF=DE,AENF.90FPDFAPEAEN.DEFB.又CA=AF,CM=MB，AM//FB且AM=21FBDEAM,AM=21DE．6、答案：（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形．如图，在OA上取点C，使AG=BE，则OG=OE．∴∠EGO=45，从而∠AGE=135．由BF是外角平分线，得∠EBF=135，∴∠AGE=∠EBF．∵∠AEF=90，∴∠FEB+∠AEO=90．在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90，∴∠EAO=∠FEB，∴△AGE≌△EBF，EF=AE．（2）假设存在点E，使EF=AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图．[来源:学科网ZXXK]由（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．∴FH=OE，EH=OA．∴点F的纵坐标为a，即FH=a．由BF是外角平分线，知∠FBH=45，∴BH=FH=a．又由C（m，n）有OB=m，∴BE=OB－OE=m－a，∴EH=m－a+a=m．xOEBAyCFG-14-又EH=OA=n，∴m=n，这与已知m≠n相矛盾．因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立．（3）如（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH－OE=h+m－a．由∠AEF=90，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF，∴EF=（t+1）AE等价于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a，且FHOEEHAO，即haamhn，整理得nh=ah+am－a2，∴anamaanaamh)(2．把h=（t+1）a代入得atanama)1()(，即m－a=（t+1）（n－a）．而m=tn，因此tn－a=（t+1）（n－a）．化简得ta=n，解得tna．∵t＞1，∴tn＜n＜m，故E在OB边上．∴当E在OB边上且离原点距离为tn处时满足条件，此时E（tn，0）．7、答案：（1）EBF30°.QFC=60°（2）QFC=60°不妨设BP＞3AB,如图1所示∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP∴∠BAP=∠EAQ.在△ABP和△AEQ中AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ∴△ABP≌△AEQ（SAS）∴∠AEQ=∠ABP=90°∴∠BEF180180906030AEQAEB∴QFC=EBFBEF303060°(事实上当BP≤3AB时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3)在图1中，过点F作FG⊥BE于点G∵△ABE是等边三角形∴BE=AB=32，由（1）得EBF30°在Rt△BGF中，32BEBG∴BF=2cos30BG∴EF=2∵△ABP≌△AEQ∴QE=BP=x∴QF=QE＋EF