兰州理工大学-矩阵理论-2001-2012-研究生期末考试真题

第1页共7页矩阵理论10设3R的两组基为()()()TTT111,112,101321==−=ααα和()()().121,011,110321TTT=−==βββ1.求从基{}321ααα到基{}321βββ的过渡矩阵。2.求向量32132αααα−+=在基321,,βββ下的坐标。设T为n维欧氏空间V的线性变换，则下列条件等价：1.T是正交变换；2.T保持向量的长度不变，即对任意ααα=∈TV,；3.如果nεεε,,,21Λ是V的标准正交基，则nTTTεεε,,,21Λ也是标准正交基；4.T在任意一组标准正交基下的矩阵式正交阵。设A为n阶正规矩阵。1.A是Hermite矩阵当且仅当A的特征值均为实数；2.A是反Hermite矩阵当且仅当A的特征值是零或者纯虚数；3.A是酉矩阵当且仅当A的每个特征值的模长均为1。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=311202113A的若当标准型J及可逆矩阵P使得JAPP=−。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111011001A的QR分解。在酉空间nC中，对任意()nnCxxx∈=,,,21Λα，定义()nixi≤≤=∞1,maxα，证明∞α是nC中的向量范数。已知矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=311111002A，计算Ae和Asin。!(K15')omR4|˜(I):α1,α2,α3,α4(II):β1,β2,β3,β4vα1+2α2=β3,α2+2α3=β4,β1+2β2=α3,β2+2β3=α4.(1)d˜(I)˜(II)L;(2)α=2β1−β2+β3+β43˜(I)eI.!(K15')ε·…mV¥,‰´CAǑAα=α−2(α,ε)ε,α∈V,y†A·C.n!(K15')AǑn5.y†:(1)A·Hermite,=AAÆ·¢Œ;(2)A·j,=AzAÆ·1.o!(K15')A=1230021−11021').˚!(K15')A=3083−16−20−5.(1)ACˇf!ˇf;(2)AeIO.J,¿_PP−1AP=J.8!(K15')A=2001111−13,'§|dX(t)dt=AX(t)v^X(0)=(1,1,1)′).!(K10')α∈Cn,y†:(1)kαk2≤kαk1≤√nkαk2;(2)kαk∞≤kαk2≤√nkαk∞.第2页共7页矩阵理论08设nααα,,,21Λ及nβββ,,,21Λ是n维线性空间V的两组基，且V的每个向量在这两组基下的坐标完全相同，证明：niii,,2,1,Λ==βα。设T是3R上的变换，且其定义如下：对任意的()3321,,Rxxx∈，()()13221321,,2,,xxxxxxxxT+−=。1.证明T是线性变换；2.求T在3R的基()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1321===εεε下的矩阵。证明：正规阵A是Hermite阵，当且仅当A的特征值全为实数。求线性方程组0032532154321=+−+=−+−+xxxxxxxxx的解空间的一组标准正交基。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=502613803A的不变因子、初等因子基若当标准型矩阵。设A为n阶方阵，证明：1.A的特征值全为零当且仅当存在正整数m使得0=mA；2.若存在正整数k使得0=kA，则行列式1=+EA。设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=10001iiiiA，试求一酉矩阵T使得ATTH为对角矩阵。证明：若nC∈α，则212αααn≤≤。已知矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201034011A，计算Ae和Asin。设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=122211212101A，求A的满秩分解。第3页共7页矩阵理论07设3R的两组基为()()()TTT111,112,101321==−=ααα和()()().121,011,110321TTT=−==βββ1.求从基{}321ααα到基{}321βββ的过渡矩阵。2.求向量32132αααα−+=在基321,,βββ下的坐标。证明：任意可逆矩阵A的逆矩阵1−A可以表示为A的多项式。设ε是欧氏空间V中的一个单位向量，定义变换T为()εεααα,2−=T，证明T是正交变换。设()jiA,为n阶Hermite矩阵，则下列条件等价1.A是正定的；2.A的特征值全为正数；3.存在可逆矩阵B，使得BBAH=;4.存在可逆矩阵C，使得EACCH=。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=211367233A的初等因子、若当标准型J及可逆矩阵P使得求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=031251233A的最小多项式。设•是mC和nC上的同类向量范数，nmCA×∈，定义ααAA1max==，则A是和已知的向量范数相容的矩阵范数。已知矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=311111002A，计算Ae和Asin。第4页共7页矩阵理论06设4维线性空间V中的两组基（I）4321αααα和（II）4321ββββ满足4323214323212222αββαβββααβαα=+=+=+=+1.求由基（I）到基（II）的过度矩阵2.求向量43212ββββα++−=在基（I）下证明：任意可逆矩阵A的逆矩阵1−A可以表示为A的多项式。设ε是欧氏空间V中的一个单位向量，定义变换T为()εεααα,2−=T，证明T是正交变换。设A为n阶正规矩阵。1.A是Hermite矩阵当且仅当A的特征值均为实数；2.A是反Hermite矩阵当且仅当A的特征值是零或者纯虚数；3.A是酉矩阵当且仅当A的每个特征值的模长均为1。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=211212112A的若当标准型J及可逆矩阵P使得JAPP=−1并写出A的不变因子和初等因子求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=031251233A的最小多项式。第5页共7页矩阵理论05已知3R中的线性变换T在基()()()1,1,0,1,0,1,1,1,1321=−=−=εεε下的矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=121011101A，求T在基()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1321===ηηη下的矩阵。已知()3CLT∈，T在基321,,εεε下的矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=284014013A，试求（1）A的特征值和特征向量；（2）T的特征值和特征向量。设321,,ααα是三维欧氏空间的一组标准正交基，求V的一个正交变换T，使得32123211323132313232αααααααα+−=−+=TT设V是n维欧氏空间，α为V中一个取定的非零向量，证明：（1）(){}VxxxV∈==,0,1α是V的子空间；（2）1dim1−=nV。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201034011A的若当标准型J，并求相似变换阵P使得JAPP=−1。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101011110A的QR分解。设矩阵A可逆，λ是A的任意一个特征值，证明：对任意范数⋅，11−≥≥AAλ。利用矩阵函数求定解问题()()TXAXdtdX1,1,10==⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=211102113A()()()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=txtxtxX321的解。已知矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111032301A，求+A。第6页共7页矩阵理论04已知3R中的线性变换T在基()()()1,1,0,1,0,1,1,1,1321=−=−=εεε下的矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=121011101A，求T在基()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1321===ηηη下的矩阵。设T是复数域C上的3维线性空间V上的线性变换，已知T在V的一组基321,,εεε下的矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=284014013A，试求（1）A的特征值和特征向量；（2）T的特征值和特征向量。设321,,ααα是三维欧氏空间的一组标准正交基，求V的一个正交变换T，使得3211313232αααα−+=T。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=211212112A的若当标准型J，并求相似变换阵P使得JAPP=−1。证明：A满足EAA22=+，证明：A可以相似对角化。解微分方程()()20,13410,1222121211=−+==++=xxxdtdxxxxdtdx隔离矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=iA102111048.0520的特征值。第7页共7页矩阵理论03在n维线性空间V中，设有线性变换T和向量V∈ξ使得01≠−ξkT，但0=ξkT，求证T在某组基下的矩阵为⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛01000001000010000ΜΟΜΜΜΛΛΛ。设321,,ααα是三维欧氏空间的一组标准正交基，求V的一个正交变换T，使得3211313232αααα−+=T。证明：反对称的实矩阵的特征值是零或纯虚数。设A为n阶方阵，证明：1.A的特征值全为零当且仅当存在正整数m使得0=mA；2.若存在正整数k使得0=kA，则行列式1=+EA。求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111001A的奇异值分解。设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=311111002A，求微分方程组()()tAXdttdX=满足初值条件()()Tt1,1,10=的解。设nCX∈，证明：（1）212XnXX≤≤；（2）∞∞≤≤XnXX1；（3）∞∞≤≤XnXX2；（4）12XXX≤≤∞。12002ET%=&‘,CH1.[15]TAR3;53X9N8W(x1,x2,x3)∈R3,T(x1,x2,x3)=(2x1−x2,x2+x3,x1).(1)d0TAOS(2)6T^R3ε1=(1,1,0),ε2=(1,0,1),ε3=(0,1,1)N&‘2.[10]α=(x1,x2,...,xn)AD℄C;nMRP)d0(1)kαk∞≤kαk2≤√nkαk∞;(2)kαk∞≤kαk1≤nkαk∞.3.[15]&‘A=1010110004Yf#4.[15]A=3083−16−20−5.(1)6AZhZh(2)6A:gQ&‘J,6’1&‘PP−1AP=J.5.[15]ALn‘d0(1)AGaf7L+5$Æ^bDmAm=0;(2):Æ^bDkAk=0,_R*?|A+E|=1.6.[10]Ve&‘A=−3−120!,C6JdX(t)dt=AX(t)-ifIX(0)=−11!#7.[10]A=(aij)Ln‘λ1,λ2,...,λnAAF\Gaf(1):AL‘_AA[&‘5$.i,|λi|=1;(2):AL/G&‘_A5$Æ^&‘BA=B2.8.[10]d02B(8Uh(V1Æ^KU!V⊥1.12001^dbg_a‘h℄fe1.3e1,e2,...,enǫ1,ǫ2,...,ǫn8nBG$V%[,V)D&OQ%[A\=.CV*ei=ǫi,i=1,2,...,n.[10]2.3T8R32,+K0A/J(x1,x2,x3)∈R3,T(x1,x2,x3)=(2x1−x2,x2+x3,x1).(1)V*T8BG(2)-TOR3ǫ1=(1,0,0),ǫ2=(0,1,0),ǫ3=(0,0,1)A#R[10]3.V*URA8HermiteR,A;SX.?5:[10]4.-BG[(2x1+x2−x3+x4−3x5=0x1+x2−x3+x5=0!$H[YU[10]5.-#RA=3083−16−20−5LZLZ1YE#R[10]6.3A?nRV*(1)A;SX.?(,ÆOUT:m6Am=0;(2)1ÆOUT:k6Ak=0,PF’7|A+E|=1.[10]7.IW#RA=1221!,