线性方程组的解

§3线性方程组的解一、线性方程组的表达式1.一般形式3.向量方程的形式方程组可简化为AX=b．2.增广矩阵的形式4.向量组线性组合的形式12312334521xxxxxx3415112112334151121xxx12334151121xxx二、线性方程组的解的判定设有n个未知数m个方程的线性方程组11112211211222221122,,.nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它是不相容的．问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解，则解是否唯一？问题3：若方程组有解且不唯一，则如何掌握解的全体？m、n不一定相等！定理：n元线性方程组Ax=b①无解的充分必要条件是R(A)R(A,b)；②有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；③有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n．分析：只需证明条件的充分性，即•R(A)R(A,b)无解；•R(A)=R(A,b)=n唯一解；•R(A)=R(A,b)n无穷多解．那么无解R(A)R(A,b)；唯一解R(A)=R(A,b)=n；无穷多解R(A)=R(A,b)n．证明：设R(A)=r，为叙述方便，不妨设B=(A,b)的行最简形矩阵为第一步：往证R(A)R(A,b)无解．若R(A)R(A,b)，即R(A,b)=R(A)＋1，则dr+1=1．于是第r+1行对应矛盾方程0=1，故原线性方程组无解．111,1212,2,1,1(1)10001000100000000000000000nrnrrrnrrrmnbbdbbdbbdBdR(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1前r列后n-r列前n列前r列100010001000000000B12(1)000nmnddd第二步：往证R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原线性方程组有唯一解．后n-r列则dr+1=0且r=n，对应的线性方程组为1122,,.nnxdxdxdB从而bij都不出现.111,212,,1,000000nrnrrrnrbbbbbb121(1)00rrmndddd第三步：往证R(A)=R(A,b)n无穷多解．若R(A)=R(A,b)n，对应的线性方程组为前r列则dr+1=0.后n-r列即rn，111,1212,2,1,1(1)10001000100000000000000000nrnrrrnrrrmnbbdbbdbbdBd11111,122112,211,,,.rnrnrnrnrrrrnrnrxbxbxdxbxbxdxbxbxdB11111,122112,211,,,.rnrnrnrnrrrrnrnrxbxbxdxbxbxdxbxbxd11111,122112,211,,,.rnrnrnrnrrrrnrnrxbxbxdxbxbxdxbxbxd令xr+1,…,xn作自由变量，则再令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r，则11111,111,11nrnrrrrnrnrrrnnrxbcbcdxbcbcdxcxc111,11,1100010nrrrnrrnrbbdbbdcc线性方程组的通解例：求解非齐次线性方程组123412341234123422,24,46224,36979.xxxxxxxxxxxxxxxx21112101041121401103~46224000133697900000rB解：R(A)=R(A,b)=34，故原线性方程组有无穷多解．21112101041121401103~46224000133697900000rB解（续）：即得与原方程组同解的方程组令x3做自由变量，则方程组的通解可表示为．132344,3,3.xxxxx132344,3,3.xxxxx123414131003xxcxx例：求解非齐次线性方程组123412341234231,3532,2223.xxxxxxxxxxxx123111231131532~054012122300002rB解：R(A)=2，R(A,b)=3，故原线性方程组无解．例：求解齐次线性方程组123412341234220,2220,430.xxxxxxxxxxxx提问：为什么只对系数矩阵A进行初等行变换变为行最简形矩阵？答：因为齐次线性方程组Ax=0的常数项都等于零，于是必有R(A,0)=R(A)，所以可从R(A)判断齐次线性方程组的解的情况．例：设有线性方程组问l取何值时，此方程组有(1)唯一解；(2)无解；(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解．123123123(1)0,(1)3,(1).xxxxxxxxxllll定理：n元线性方程组Ax=b①无解的充分必要条件是R(A)R(A,b)；②有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；③有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n．11101113111Bllll解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵．11101113111llll13111~11131110rrllll2131(1)111~030(2)(1)rrrrlllllllllll32111~0300(3)(1)(3)rrlllllllll附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于l+1，l+3等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对l+1=0（或l+3=0）的情况另作讨论．2111rrl2(1)rl3(3)rl11101111113~0311100(3)(1)(3)rBlllllllllllll分析：•讨论方程组的解的情况，就是讨论参数l取何值时，r2、r3是非零行．•在r2、r3中，有5处地方出现了l，要使这5个元素等于零，l=0，3，－3，1．•实际上没有必要对这4个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手．11101111113~0311100(3)(1)(3)rBlllllllllllll于是•当l≠0且l≠－3时，R(A)=R(B)=3，有唯一解．•当l=0时，R(A)=1，R(B)=2，无解．•当l=－3时，R(A)=R(B)=2，有无限多解．11101113111Bllll解法2：因为系数矩阵A是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是|A|≠0．2111||111(3)111Alllll于是当l≠0且l≠－3时，方程组有唯一解．当l=0时，R(A)=1，R(B)=2，方程组无解．111011101113~000111100000rB当l=－3时，R(A)=R(B)=2，方程组有无限多个解，其通解为211010111213~011211230000rB123111210xxcx定理：n元线性方程组Ax=b①无解的充分必要条件是R(A)R(A,b)；②有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；③有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n．分析：因为对于Ax=0必有R(A,0)=R(A)，所以可从R(A)判断齐次线性方程组的解的情况．定理：n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)n．定理：线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)．定理：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)．定理：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)．证明：设A是m×n矩阵，B是m×l矩阵，X是n×l矩阵.把X和B按列分块，记作X=(x1,x2,…,xl)，B=(b1,b2,…,bl)则即矩阵方程AX=B有解线性方程组Axi=bi有解R(A)=R(A,bi)12(,,,)nAXAxxx12(,,,)nAxAxAx12(,,,)nbbbB设R(A)=r，A的行最简形矩阵为，则有r个非零行，且的后m－r行全是零．再设从而．AAA1212(,)(,,,,)~(,,,,)rllABAbbbAbbb(,)~(,)riiAbAb矩阵方程AX=B有解线性方程组Axi=bi有解R(A)=R(A,bi)的后m－r个元素全是零的后m－r行全是零R(A)=R(A,B)．ib12(,,,)lbbb定理：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)．定理：设AB=C，则R(C)≤min{R(A),R(B)}．证明：因为AB=C，所以矩阵方程AX=C有解X=B，于是R(A)=R(A,C)．R(C)≤R(A,C)，故R(C)≤R(A)．又(AB)T=CT，即BTAT=CT，所以矩阵方程BTX=CT有解X=AT，同理可得，R(C)≤R(B)．综上所述，可知R(C)≤min{R(A),R(B)}．非齐次线性方程组无解否是无限多个解否是唯一解包含n-R(A)个自由变量的通解RARAb()(,)()RAn补例：1.设A为列满秩矩阵，AB=C，证明Bx=0和Cx=0同解；2.证明AX=Em有解的充要条件是R（A）=m；3.证明R（A）=1的充要条件是存在非零列向量和非零行向量，使；4.证明A和B等价的充要条件是；TTA()()RARB