第四章可控与可观

Page:1现代控制理论ModernControlTheory第四章李雅普诺夫稳定性分析4-1问题的提出4-7对偶原理4-5线性定常连续系统的可观测性4-2可控与可达的定义4-3线性定常连续系统状态完全可控的条件4-4线性定常离散系统的可控性4-6线性定常离散系统的可观测性4-8结构分解Page:2现代控制理论ModernControlTheory4-1问题的提出()tu()tx()ty经典控制理论以传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。现代控制理论建立在状态空间表达式描述系统的基础上。状态方程描述输入引起状态的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出的变化。可控性和可观性回答：“输入能否控制系统状态的变化”——可控性“状态的变化能否由输出反映”——可观性可控性和可观性的概念是卡尔曼（Kalman）在1960年首先提出,是经典控制进入现代控制理论的标志之一。Page:3现代控制理论ModernControlTheory4-1问题的提出【例】RLC网络控制量对状态变量的控制能力－称状态可控性输出量对状态变量的反映能力－称状态可观测性uccLuyuxix,,21取当1423RRRR，即电桥不平衡时，u能控制x1，x2所有变量，称系统可控。Page:4现代控制理论ModernControlTheory4-1问题的提出100022uxx10yx1221122xyuxxxx【例】解：上述动态方程可写成：输入u不能控制状态变量1x1x，所以状态变量是不可控的；2x2x，所以状态变量不能观测。从输出方程看，输出y不能反映状态变量Page:5现代控制理论ModernControlTheory4-2可控与可达的定义定义1：使系统从任意初始状态转移到任意终态则称此状态可控；0()tx()ftx设系统，若在有限时间,存在分段连续输入u(t)xAxBu],[0fttt如果系统所有状态可控，则称系统完全可控，简称系统可控。假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态，12,,,nPPP那么相平面上的P点是可控状态。PP3P1P2PnP40x1x2Page:6现代控制理论ModernControlTheory4-2可控与可达的定义定义3：使系统从零状态转移到任意指定终端状态，则称此状态可达，简称系统可达。0()0tx()ftx定义2：使系统从任一初始状态转移到终态状态零点，则称状态完全可控，简称系统可控；()0ftx0()tx对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；Page:7现代控制理论ModernControlTheory4-3线性定常连续系统状态完全可控的条件一.可控性判据凯莱-哈密顿定理：1110()nnnfaaaIA1110()nnnaaa0fAAAAI,AB21ncSBABABAB定理1：若定义线性定常系统的n*(np)可控矩阵则系统状态完全可控（或系统可控）的充要条件是：该系统的可控性矩阵满秩，即rankcnSPage:8现代控制理论ModernControlTheory4-3线性定常连续系统状态完全可控的条件10e()ntmmmtAA)()(10nkAtAmmnmk推论:证明:xAxBu00()()()()()dftottttttBuxx000()()()dfttttBuxPage:9现代控制理论ModernControlTheory4-3线性定常连续系统状态完全可控的条件由凯莱-哈密顿定理得：01()000()e()ntmmmttAA01000()()()dfntmmtmttxABu01000()()()dfntmmtmttuxAB0000010110[()()d()()d()()dffftttttnnttututuBABABPage:10现代控制理论ModernControlTheory4-3线性定常连续系统状态完全可控的条件01101()()nnuutuxBABAB1rank()nnBABAB【例】211,010uxx12[]00cQbAbrank1cnQ解：，∴系统不可控。试判别状态可控性Page:11现代控制理论ModernControlTheory4-3线性定常连续系统状态完全可控的条件【例】判别下列系统的状态可控性。700205050017uxx700005050017uxx（2）（1）定理2：设线性定常系统,系统状态完全可控的充要条件为：xAxBu当A为对角阵且特征根互异时，输入矩阵B无全零行Page:12现代控制理论ModernControlTheory4-3线性定常连续系统状态完全可控的条件700010504000175uxx700010500000175uxx（3）（4）解：（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。（2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。（3）系统可控。（4）系统不可控。Page:13现代控制理论ModernControlTheory4-3线性定常连续系统状态完全可控的条件定理3：中不适用）。两个或两个以上约当块（当相同特征根分布在，不全为零中对应的行最后一行中与约当块输入矩阵，分布在一个约当块内时为约当阵且相同特征根当件为：状态完全可控的充要条系统BA410042uxx412040uxx【例】判别下列系统的状态可控性。（1）（2）xAxBuPage:14现代控制理论ModernControlTheory4-3线性定常连续系统状态完全可控的条件（3）410000401310000320xxu（4）410100400312000301xxu解：（1）系统是可控的。（2）系统是不可控的。（3）系统是可控的。（4）系统是不可控的。Page:15现代控制理论ModernControlTheory4-3线性定常连续系统状态完全可控的条件二、可控标准型0121010...00001...00,000011naaaaAb1.可控标准型系统一定可控定理：线性定常单输入系统uxAxb若系统可控，则,使其状态方程化为可控标准型xAxbu1xPx11)1,,0(nnniaAInia为10aa各项系数Page:16现代控制理论ModernControlTheory4-3线性定常连续系统状态完全可控的条件2.若一单输入系统可控,则一定能找到一线性变化将起转换为可控标准型系统.定理:线性定常单输入系统可控,则uxAxb使其状态方程化为,1xPx可控标准型xAxbuPage:17现代控制理论ModernControlTheory4-3线性定常连续系统状态完全可控的条件1111npppAPA1110001npbAbAb【例】已知系统的状态方程为101021uxx试判别状态可控性，如可控将状态方程化为可控标准型。Page:18现代控制理论ModernControlTheory4-3线性定常连续系统状态完全可控的条件1112cQbAbrank2cQ解：（1）首先判别可控性，故系统是可控的。1112cQ12111cQ1111p（2）化可控标准型111111112pPpA1121()11PPPage:19现代控制理论ModernControlTheory4-3线性定常连续系统状态完全可控的条件11110210112021123APAP111101211bPb即有可控标准型010231uxxPage:20现代控制理论ModernControlTheory4-3线性定常连续系统状态完全可控的条件一般而言，系统输出可控性和状态可控性之间没有什么必然的联系。即输出可控不一定状态可控，状态可控不一定输出可控。|cCSD三连续系统的输出可控性,xAxBuyCxDu定理：1rank...nqCBCABCABD设系统，则系统输出完全可控的充要条件是输出可控性矩阵满秩，即（q-输出变量个数）Page:21现代控制理论ModernControlTheory4-4离散时间系统的可控性1.定义：设系统，若在有限时间,存在控制作用(1)()()kkkxxGu使系统从任意初始状态在l步转移到零终态则称此状态可控；如果系统所有状态可控，则称系统完全可控，简称系统可控。0(0)xx[0]tnT(0)(1)uul()0lx2.线性定常离散系统的可控条件Page:22现代控制理论ModernControlTheory4-4离散时间系统的可控性【例】设离散系统的状态方程为1001(1)022()2()1101kkukxx试判别其可控性。定理：(1)()()kkkxΦxGu1ranknnGΦGG线性定常离散系统，系统状态完全可控的充要条件为能控性矩阵满秩Page:23现代控制理论ModernControlTheory4-4离散时间系统的可控性2111[]222111cQHGHGHrank1cnQ解：所以离散系统是不可控的。Page:24现代控制理论ModernControlTheory4-5线性定常连续系统的可观测性二、可观测性定理xAxBuyCxDu定理1：线性定常连续系统一、定义定义：若对系统{A，B，C，D}，存在给定输入u(t)，能在[t0,tf）有限时间内，由输出y(t)能任一确定系统初始状态x(t0)，则系统则系统各个状态都可观测，则称系统是状态完全可观测的，简称系统可观测。Page:25现代控制理论ModernControlTheory4-5线性定常连续系统的可观测性nCACAnrankSCACACSnnqTnTTTTn1010)(...,:C或满秩，即维能观测矩阵条件是状态完全可观测的充要451101uxx11yx211131uxx1010yx【例】判别可观测性（2）（1）Page:26现代控制理论ModernControlTheory4-5线性定常连续系统的可观测性1155ocQcArank12oQ10102121ocQcArank22oQ解：（1）故系统不可观测系统可观测（2）定理2：线性定常系统,xAxBuyCxDu，系统状态空间可观测的充