直线与抛物线的位置关系

§2.4.2直线与抛物线的位置关系一、直线与抛物线位置关系种类xyO1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）与双曲线的情况一样例1、已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?几何画板演示注意：直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；另一种是直线与抛物线相切．结论：相切一交点，一个交点不一定相切。结论：判断直线与抛物线位置关系的方法把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行（重合）相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离变式一:已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共点(3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b的最大值是多少?分析:本题与例1类型相似,方法一样,通过联立方程组求得.(1)b=1(2)b1(3)b1,当直线与抛物线有公共点时,b的最大值当直线与抛物线相切时取得.其值为1二:已知实数x、y满足方程y2=4x,求函数的最值12yzx本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题.本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值问题.min1z无最大值三:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y的最值.121minmaxkk例2斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.解这题,你有什么方法呢?法一:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(一般方法);法二:设而不求,数形结合,活用定义,体现转化思想，运用韦达定理,计算弦长.xyOFABB’A’224,(1)4,yxxx代入方程得.0162xx化简得84)(216212212121xxxxABxxxx。的长是所以，线段8AB例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1xyOFABB’A’.,,),,(),,(2211BAddlBAyxByxA的距离分别为准线到设,12,122211xpxdBFxpxdAFBA由抛物线的定义可知1228ABAFBFxx所以例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x2,1,2pp.1:xl准线解法二:由题意可知,题后感悟：一.求抛物线弦长的一般方法①用直线方程和抛物线方程列方程组；②消元化为一元二次方程后，应用韦达定理，求根与系数的关系式，而不要求出根，代入二.若弦过焦点，即为焦点弦则据定义转化为|AB|＝x1＋x2+p或|AB|＝y1＋y2+p.结合②中的结可求解。体现了转化思想。xxxxKAB21224-211过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离．解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为52，因此点M到抛物线准线的距离为52＋1＝72.16045课堂练习:1.过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为_________y2=8x2.过点(0,1)M且和抛物线C:24yx仅有一个公共点的直线的方程是__________________________.k联立214ykxyx消去x得2440kyy101yxyx或或点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。小结：1.直线与抛物线的位置关系：相离、相切、相交。2.研究方法：方程组解的个数就是交点个数。注意二次项系数可能为0.3.弦长公式：焦点弦长：xxxxKAB21224-211pABxx21作业：P1362、3谢谢！