泛函分析习题标准答案

第二章度量空间作业题答案提示1、试问在R上，2,xyxy能定义度量吗？答：不能，因为三角不等式不成立。如取则有,4xy,而,1xz，,1zx2、试证明：（1）12,xyxy;(2),1xyxyxy在R上都定义了度量。证：（1）仅证明三角不等式。注意到21122xyxzzyxzzy故有111222xyxzzy（2）仅证明三角不等式易证函数1xxx在R上是单调增加的，所以有abab,从而有1111abababababab令,,xyzR,令,azxbyz即111yxzxyzyxzxyz4.试证明在baC,1上，)12.3.2()()(),(badttytxyx定义了度量。证：（1）0)()(0),(tytxyx（因为x,y是连续函数）0),(yx及),(),(xyyx显然成立。),(),()()()()()()()()()()(),()2(yzzxdttytzdttztxdttytzdttztxdttytxyxbabababa5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明niiniixnx1221证：niininiiniixnxx1212122118.试证明下列各式都在度量空间11,R和21,RR的Descartes积21RRR上定义了度量212/1222121,max~~)3(;)(~)2(;)1(证：仅证三角不等式。（1）略。(2)设12(,)xxx，12(,)yyy12RR，则1222111222122222221111112222221122222211111122222211222211(,)[(,)(,)](,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nniiiiiixyxyxyxzzyxzzyxzzyxzzyxzzy1221ni（3）111222(,)max{(,),(,)}xyxyxy111111222222111111222222max{(,)(,),(,)(,)}max[(,)(,)]max[(,)(,)](,)(,)xzzyxzxzxzzyxzxzxzzy9、试问在[,]Cab上的0(;1)Bx是什么？[,]Cab上图像以0x为中心铅直高为2的开带中的连续函数的集合。10、试考虑[0,2]C并确定使得(,)yBxr的最小r，其中sin,cosxtyt。[0,2][0,2](,)supsincossup2sin()24ttxyttt11．试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。设A是离散度量空间X的任一子集。aA，开球1(,){}2BaaA，故A事开集。同样道理，知CA是开的，故()CCAA又是闭集。12．设0x是MR的聚点，试证明0x的任何邻域都含有M的无限多个点。证：略。13．（1）若度量空间R中的序列{}nx是收敛的，并且有极限x，试证明{}nx的每个子序列{}knx都是收敛的，并且有同一极限。（2）若{}nx是Cauchy序列，并且存在收敛的子序列{}knx，knxx，试证明{}nx也是收敛的，并且有同一极限。（1）略（2），N，当,kmnN时，有(,)2klmnxx，(,)2klnxx（{}nx是Cauchy序列且knxx）因此，当mN时，(,)(,)(,)22klklmmnnxxxxxx18.试证明：Cauchy序列是有界的.证明：若nx是Cauchy序列，则存在,使得对于一切0nn,有0,1nnxx,因此，对于一切n，有000011,max1,,,...,,nnnnnxxxxxx19.若nx和ny都是度量空间x中的Cauchy列，试证明：,nnnxy是收敛的。证：根据三角不等式，有,,,,,,nnnnmmmmnnmmmnxyxxxyyyxxyy故，,,nmnmmnxxyy同样有：,,mnnmmnxxyy即：,,0nmnmmnxxyy而R是完备的，则n是收敛的。34.若X是紧度量空间，并且MX是闭的，试证明M也是紧的。证明：因为X是紧的，故M中任一序列nx有一个在nX中收敛的子序列nkx。不妨设nkxxX，则有xM。又因M是闭的，所以xM，因此M是紧的。第三章线性空间和赋范线性空间10.试证明下列都是nR上的范数（1）11niixx；(2)12221niixx;(3)maxiixx;2121niixx是范数吗？（1）、（2）和（3）的证明略2121niixx不是范数，不满足三角不等式。以为例，令1,0,0,1xy则1,4xyxy13.试证明（1）C、0C和0l都是l的线性空间，其中C是收敛数列集；0C是收敛数列0的数列集；0l是只有有限个元素的数列集。（2）0C还是l的闭子空间，从而是完备的。（3）0l不是l的闭子空间。证明：（2）设12,0,...xxxC，12,,...nnnxxx,使得nnxx.则有任意的0，N使得对于一切j，当,时有,又因为，所以当时从而有于是，故14.试证在赋范线性空间中，级数的收敛性，并不蕴含级数的收敛性。令，则，且于是，收敛但15.设是赋范线性空间，若级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛性，则是完备的。证：设{Xn}是X中任一Cauchy列，则kN，nk，s.t.当m，nnk时，k2S-Smn。而且对一切的k，可选取n1knk，从而{Snk}是{Sn}的一个子列，并且令X1=S1n，Xk=Sn-Snk，则{Snk}是级数kX的部分和序列，从而12X12)1(1121kXXXSSkkkkk于是kX绝对收敛，故kX收敛。不妨设SnkSX，由于{Xn}是Cauchy列，故0SnSSSSSnknkn又由于{Sn}是任意的，故证明X是完备的。17.设（X，1）和（X，2）是赋范线性空间，试证明其Descarts积X=X1*X2在定义范数X=max{11X，22X}后也成为赋范线性空间。证：（1）X=011X=22X=0X=（0,0）=（2）X=max{11X，22X}=max{11X，22X}=X（3）设X=（X1，X2），y=（y1，y2），则}yxyxmax{yx222111，yx}y,ymax{}x,xmax{}yx,yxmax{221122112222111120.（1）若和0是X上任意两个等价范数，试证明（X，）和（X，0）中的Cauthy序列相同（2）试证明习题10中的三个范数等价证：设{Xn}是（X，）中的任一Cauthy序列，即0，NN，当n，mN时，mnx-x由于和0是X上任意两个等价范数，所以存在正数a，b使a0b（*）于是当nmN时，有bxbxmmn0nxx即xn是（X，0）中的Cauthy序列。反之，若{xn}是（X，0）中的Cauthy序列，则由（*）左边不等式，可证{xn}是（X，）中的Cauthy序列。（2）Rn是有限维赋范线性空间，其上的范数都是等价的。20(2)的直接证明：证明在中，范数1、2和等价，其中11niixx；12221()niixx；maxixix证122maxiixix，2xxnx，故2和等价。2由Cauchy-Schwart不等式，得，111222221111()(1)()nnnniiiiiiixxnx故有12xnx再有1122222111()[()]nniiiixxxx我们得1211xxxn故1与2等价29.若T：DTY是可逆的线性算子，x1,...,xn是线性无关的，试正明1Tx,...,nTx也是线性无关的.证：若存在λ1，...，λn∈Ф且不全为零，使得11...0nnTxTx,则由于1T存在且为线性的，故1T1111......0nnnnTxTxxTx,与x1,...,xn线性无关矛盾。32.若T是有界性算子，试证明对满足1x的任意xDT，都有TxT.思路：由TxTx即证结论。33.设Τ：∞→∞使得21,,...2xTxx，试证明,.TBll证：设12,,...,,...nxxxx，12,,...,,...nyyyy，则1211211222122211211212221121,,...,,...,,...,,...22,,...,,...22nnnnTxyTxyxyxyxyxyxynnxyxy=2211从而T是线性算子.nnnnnsupsup,所以1,,且ll.进一步可以证明1.37.设11:0,10,1,TCC使得0,0,1.tTxtxdt（1）试求RT和11:0,1;TRTC（2）试问11,0,1TBRTC吗？（1）RT是满足00y且在0,1上连续可微分的函数构成的10,1C的子空间，且1',0,1Tyytt。（2）1T是线性的，但是无界的。事实上，1'nntnt，蕴含着1Tn38.在C[0,1]上分别定义10()()Sxttxsds和()()Txttxt(1)试问S和T是可交换的吗?(2)试求Sx，Tx，STx和TSx修改S，T，ST，TS(1)10()(())()STxStxttsxsds,11200()(())()TSxTtxsdstxsds,故STTS，S和T不是可交换的。(2)10Sxxdsx,所以1S令1x，[0,1]t则1sxsxs于是1S类似可求：1T，12ST，1TS。39.在XBR上定义范数sup()tRxxt，并设T：XX使得()()Txtxt，其中0试证明(,)TBXX。证：Xyx,，则T（x1y2）=x1(t-)+2y(t-)=TyTx21,即T是线性算子Tx=supRt)(tx=supRt)(tx=x，1T40、证明下列在Cba,上定义的泛函是有界线性泛函：（1）dtttxxbaoyf)()()(1，baCy,0固定；（2）固定Rbxaxxf,),()()(2证：（1）线性性略令B=max,tba)(0ty=y0，则有dxxBxbaf)(1=B（b-a）x，故有f1B（b-a）（2）略41、设11,1C上的线性泛函f定义为1001)()()(dttxdttxxf，试求f解：11,1xC,01102fxxdtdtx，所以2f，取1nxtt，n为正奇数