高中数学：求函数值域的方法十三种

第1页共23页高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（☆）二、配方法（☆）三、分离常数法（☆）四、反函数法（☆）五、判别式法（☆）六、换元法（☆☆☆）七、函数有界性八、函数单调性法（☆）九、图像法（数型结合法）（☆）十、基本不等式法十一、利用向量不等式十二、一一映射法十三、多种方法综合运用一、观察法：从自变量x的范围出发，推出()yfx的取值范围。【例1】求函数1yx的值域。【解析】∵0x，∴11x，∴函数1yx的值域为[1,)。【例2】求函数x1y的值域。【解析】∵0x∴0x1显然函数的值域是：),0()0,(【例3】已知函数112xy，2,1,0,1x，求函数的值域。【解析】因为2,1,0,1x，而331ff，020ff，11f所以：3,0,1y注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为Rx，则函数的值域为1|yy。二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()Fxafxbfxc的函数的值域问题，均可使用配方法。【例1】求函数225,[1,2]yxxx的值域。【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8]【变式】已知，求函数的最值。第2页共23页【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。图2【例2】若函数2()22,[,1]fxxxxtt当时的最小值为()gt，（1）求函数()gt（2）当t[-3,-2]时，求g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法）【解析】(1)函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。图1图2图3①如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。②如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。③如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值综上讨论，g(t)=0110,11,1)1()(22mintttttxf(2)221(0)()1(01)22(1)ttgttttt(,0]t时，2()1gtt为减函数在[3,2]上，2()1gtt也为减函数第3页共23页min()(2)5gtg，max()(3)10gtg【例3】已知2()22fxxx，当[1]()xtttR，时，求()fx的最大值．【解析】由已知可求对称轴为1x．（1）当1t时，22minmax()()23()(1)2fxftttfxftt，．（2）当11tt≤≤，即01t≤≤时，．根据对称性，若2121tt即102t≤≤时，2max()()23fxfttt．若2121tt即112t≤时，2max()(1)2fxftt．（3）当11t即0t时，2max()()23fxfttt．综上，21,3221,2)(22maxtttttxf观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当时))((212)())((212)()(21max如图如图，，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf第4页共23页当时)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxffxfmbamnfnbamn()()()()()()()min，，如图如图212212910【例4】(1)求2f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。(2)求函数)(axxy在]1,1[x上的最大值。【解析】(1)二次函数的对称轴方程为xa，当1a2即1a2时，maxf(x)f(2)4a5；当1a2即1a2时，maxf(x)f(1)2a2。综上所述：max12a2,a2f(x)14a5,a2。(2)函数4)2(22aaxy图象的对称轴方程为2ax，应分121a，12a，12a即22a，2a和2a这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2a；由图可知max()(1)fxf（2）a22；由图可知max()()2afxf（3）2a时；由图可知max()(1)fxf第5页共23页2,)1(22,)2(2,)1(afaafafy最大；即2,122,42,)1(2aaaaaay最大【例5】已知二次函数2f(x)ax(2a1)x1在区间3,22上的最大值为3，求实数a的值。【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a0与a0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：（1）令2a1f()32a，得1a2此时抛物线开口向下，对称轴方程为x2，且32,22，故12不合题意；（2）令f(2)3，得1a2此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故1a2符合题意；（3）若3f()32，得2a3此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故2a3符合题意。综上，1a2或2a3解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。【变式】已知函数2()21fxaxax在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。【解析】2()(1)1,[3,2]fxaxax（1）若0,()1,afx，不符合题意。（2）若0,a则max()(2)81fxfa由814a，得38a（3）若0a时，则max()(1)1fxfa由14a，得3a综上知38a或3a【例6】已知函数2()2xfxx在区间[,]mn上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。【解法1】讨论对称轴中1与,,2mnmn的位置关系。第6页共23页①若，则maxmin()()3()()3fxfnnfxfmm解得②若12mnn，则maxmin()(1)3()()3fxfnfxfmm，无解③若12mnm，则maxmin()(1)3()()3fxfnfxfnm，无解④若，则maxmin()()3()()3fxfmnfxfnm，无解综上，4,0mn【解法2】由211()(1)22fxx，知113,,26nn，则[,](,1]mn，又∵在[,]mn上当x增大时)(xf也增大所以maxmin()()3()()3fxfnnfxfmm解得4,0mn评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。【例7】求函数35yxx的值域.【解法1】22)4(122)5)(3(253xxxxxy显然]4,2[)4(12222xy故函数的值域是：]2,2[y【解法2】显然3≤x≤5,2232sin([0,])52cos2xx,352(sincos)2sin()[2,2]4yxx三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为)(xfky(为k常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。【例1】求函数12xxy的值域【解析】利用恒等变形，得到：111xy，容易观察知x≠-1,y≠1，得函数的值域为y∈(-∞,1)∪(1,+∞)。注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。【例2】求函数122xxxxy的值域。第7页共23页【解析】观察分子、分母中均含有xx2项，可利用部分分式法；则有43)21(11111122222xxxxxxxxxy不妨令：)0)(()(1)(,43)21()(2xfxfxgxxf从而,43)(xf注意：在本题中应排除0)(xf，因为)(xf作为分母。所以43,0)(xg故1,31y【变式】求下列函数的值域：(1)231xxy(2)1122xxy.答案：（１）值域),(),(3131y（２）值域y∈[-1,1]四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。【例1】求函数1212xxy的值域。【解析】由1212xxy解得121xyy，∵20x，∴101yy，∴11y∴函数1212xxy的值域为(1,1)y。【例2】求函数3456xyx值域。【解析】由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：33(,)(,)55【例3】求函数11xxeey的值域。解答：先证明11xxeey有反函数，为此，设21xx且Rxx21,，第8页共23页0)1)(1(211112121221121xxxxxxxxeeeeeeeeyy。所以y为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：xxy111ln。此函数的定义域为)1,1(x，故原函数的值域为)1,1(y。【例4】求函数])1,1[,,0,0(xbababxabxay的值域。【解法1】-1≤x≤1a-b≤a-bx≤a+bbaabxaabaa222baabxaaybaa212112，babaybaba【解法2】（反函数法）：)1(2ybabax,由-1≤x≤1得：1)1(21ybabax，babaybaba五、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程(,)0Fxy；通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如21112222axbxcyaxbxc（1a、2a不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。（解析式中含有分式和根式。）【例1】求函数2211xxyx的值域。【解析】原函数化为关于x的一元二次方程,由于x取一切实数，故有（1）当时，