数学史小故事

1数学史简介——兼中外数学家的故事——福安二中：冯恒春一、数的发展史正整数（零，负整数）整数（分数）有理数（无理熟）实数（虚数）复数1、正整数的形成你是否看过杂技团演出中小狗做算术这个节目？台下观众出一道10以内的加法题，比如2+5，由演员写到黑板上。小狗看到后就会汪汪汪……叫7声。台下观众会报以热烈的掌声，对这只狗中的数学尖子表示由衷的赞许，并常常惊叹和怀疑狗怎么会这么聪明？因为在一般人看来狗是不会有数量概念的。人类最初也完全没有数量的概念。但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步。这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生了数的概念。比如捕获了一头野兽，就用1块石子代表。捕获了3头，就放3块石子。结绳记事也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事。我国古书《易经》中有结绳而治的记载。传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数。用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法。这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号。数的概念最初不论在哪个国家地区都是1、2、3、4……这样的正整数开始的，但是记数的符号却大小相同。古罗马的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用。实际上，罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。这7个符号位置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的。它们按照下列规律组合起来，就能表示任何数：1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次，就表示这个数的几倍。如：III表示3；XXX表示30。2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号，就表示大数字加小数字，如VI表示6，DC表示600。一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号，就表示大数字减2去小数字的数目，如IV表示4，XL表示40，VD表示495。3．上加横线：在罗马数字上加一横线，表示这个数字的一千倍。如：XV表示15,000，CLXV表示165,000。我国古代也很重视记数符号，最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用。到春秋战国时期，生产迅速发展，适应这一需要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。从算筹数码中没有10这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末。但筹算数码中开始没有零，遇到零就空位。比如6708，就可以表示为┴╥。数字中没有零，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与零的出现有关。不过多数人认为，0这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人。他们最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了0。2、零、分数的出现说起0的出现，应该指出，我国古代文字中，零字出现很早。不过那时它不表示空无所有，而只表示零碎、不多的意思。如零头、零星、零丁。一百零五的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。105恰恰读作一百零五，零字与0恰好对应，零也就具有了0的含义。如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有0。其实在公元5世纪时，0已经传入罗马。但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何使用0。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用0的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握笔写字。但0的出现，谁也阻挡不住。现在，0已经成为含义最丰富的数字符号。0可以表示没有，也可以表示有。如：气温C00，并不是说没有气温；0是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0！=1（零的阶乘等于1）。除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法。在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风。现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人们称之为阿拉伯数字。实际上它们是古代印度人最早使用的。后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，逐渐演变成今天的阿拉伯数字。3数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果。随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示正整数是远远不行的。如果分配猎获物时，5个人分4件东西，每个人人该得多少呢？于是分数就产生了。中国对分数的研究比欧洲早1400多年！正整数、分数和零，通称为算术数。正整数也称为正整数。随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。3、无理数的发现但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了。让我们回到大经贸部2500年前的希腊，那里有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。他们认为数是万物的本源，支配整个自然界和人类社会。因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。他们所说的数是指整数。分数的出现，使数不那样完整了。但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。如果设这个数为X，既然21xx，推导的结果即22x。他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，根据勾股定理211222x，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密。而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去。据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼。然而真理是藏不住的。人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率就是最重要的一个。人们把它们写成31032，，，等形式，称它们为无理数。有理数和无理数一起统称为实数。每次数系的扩充、尤其是无理数的发现、建立了实数理论，使数学高速发展、这时期产生了许多数学分支。数学的发展史实际上是数的发展历史。4、虚数的产生在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。这时人类的历史已进入19世纪。许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现了。但人们在解方程（如方程25x在N中无解、但在Z中有解，方程073x在Z中有无解、但在Q中有解，方程32x在Q中有无解、但在R中有解，方程12x在R中有无解、在什么数集中有解呢？）的时候常常需要开平方如果被开方数负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁。于是数学家们就规定用符号ｉ表示-1的平方根，即1i，虚数就这样诞生了。ｉ成了虚数的单位。后人将实数和虚数结合起来，写成ａ＋ｂｉ的形式（a、b均为实数），这就是复数。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到4虚无缥缈。随着科学的发展，虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不虚了。1797年高斯给出代数基本定理的第一个证明（后又给出了四个不同的证明）。即：任何一个系数为复数的一个变量的代数方程都至少有一个根。从它可以推出：“一个n次代数方程必有且仅有n个根”，由此定理的证明，告诉我们无须把复数域扩充了，复数域是代数封闭和的。数的概念发展到虚和复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数学家族的成员已经都到齐了。可是1843年10月16日，英国数学家哈密尔顿又提出了四元数的概念。所谓四元数，就是一种形如kzjyixa的数。它是由一个标量（实数）和一个向量kzjyix（其中x、y、z为实数）组成的。四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用。与此同时，人们还开展了对多元数理论的研究。多元数已超出了复数的范畴，人们称其为超复数。由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰。这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阿等概念称为广义数。尽管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的。到目前为止，数的家庭已发展得十分庞大。二、π的历史圆的周长与直径之比是一个常数，人们称之为圆周率。通常用希腊字母π来表示。1706年，英国人琼斯首次创用π代表圆周率。他的符号并未立刻被采用，以后，欧拉予以提倡，才渐渐推广开来。现在π已成为圆周率的专用符号，π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平，它的历史是饶有趣味的。在古代，实际上长期使用π＝３这个数值，巴比伦、印度、中国都是如此。到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。东汉的数学家又将π值改为10（约为3.16）。直正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。他专门写了一篇论文《圆的度量》，用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71。这是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。第一次用正确方法计算π值的，是魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得π值为3.14。我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率。公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。祖冲之还找到了两个分数：22/7和355/113，用分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。5祖冲之的圆周率，保持了一千多年的世界记录。终于在1596年，由荷兰数学家卢道夫打破了。他把π值推到小数点后第15位小数，最后推到第35位。为了纪念他这项成就，人们在他1610年去世后的墓碑上，刻上：3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为卢道夫数。许多数学家都喜欢将他们的生平刻在墓碑上。丢番图的墓志铭:“丢番图的一生，童年占61，又过了一生的121才长胡子，又过一生的121他结了婚，5年后生一子，子只活了其父年龄之一半，子死后四年丢番图亦离开人世。”读者只要算一算就知道丢番图活了八十四岁。瑞士数学家雅各（贝努里家族）对对数螺线有深入的研究，他在欣赏这曲线巧妙之余，仿效阿基米德，在遗嘱中说要将对数螺线刻在墓碑上，以作永久纪念。可惜的是，1705年8月16日逝世后，可能是石匠功夫不好，墓碑上的螺线却象一根阿基米德螺线a。之后，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出808位小数的π值。电子计算机问世后，π的人工计算宣告结束。20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的π，编写了一本书名叫《π》的书、整本书都是数字、成为世上最枯燥无味的一本书，70年代又突破这个记录，算到了150万位。到90年代初，用新的计算方法，算到的π值已到4.8亿位。π的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着技术和算法的革新。三、数学发展过程的三次危机第一次数学危机──无理数的发现大约公元前５世纪，不可通约