高一数学学前必会

1高一数学初高中衔接专题一.数与式的运算一、知识回顾1.绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.aaaaaa绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、从绝对值式的有关知识易得若|x|＞a（a＞0），则有x＞a或x＜-a..若|x|＜a（a＞0），则有-a＜x＜a.3、由1可得到解一般简单绝对值不等式的基本方法：对形如|ax+b|＞c（c＞0）的绝对值不等式只需将绝对值内的式子视为整体，可得（1）|ax+b|＞cax+b＞c或ax+b＜-c（c＞0）.（2）|ax+b|＞c-c＜ax+b＜c（c＞0）.二、典例讲解：例1解等式：(1)、21x(2)、321x例2、解不等式：（1）21x（2）321x⑶|1-2x|≤5;⑷|5x-6|≥4（5）631xx、三、巩固练习：21、填空：（1）若5x，则x=_________；若4x，则x=_________.（2）如果5ba，且1a，则b＝________；若21c，则c＝________.（3）．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．2．选择题：下列叙述正确的是（A）若ab，则ab（B）若ab，则ab（C）若ab，则ab（D）若ab，则ab3．解不等式：⑴|x+2|＞3；(2)13x；（3）327xx；（4）|6-4x|5(5)116xx3专题二、因式分解一、知识回顾：1、因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．（1）提公因式法（2）运用公式法：运用公式法因式分解时，常用公式如下：平方差公式：22()()ababab；完全平方公式：2222()aabbab立方和（差）公式：3322()()ababaabb三数和平方公式：2222()2()abcabcabbcac；两数和立方公式：33223()33abaababb；两数差立方公式：33223()33abaababb．（3）分组分解法定义：把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法（4）求根法221212=0(0)(0)),xaxbxcaxxaxbxcaaxx若关于的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为（x-)(x-这种因式分解的方法叫求根法十字相乘法（1）定义：借助画十字交叉线分解系数把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法（2）具体步骤：将二次三项式ax2+bx+c分解因式时，首先，把a分解成2121ccccaaa分解成把，并把1212,c,aac,，排列如下1a1c2a2c然后，按交叉线相乘，再相加，就得到1221c,aca如果它正好等于b，那么ax2+bx+c=（11cax）（22cax），其中1122,caac位于上一行，，位于下一行自学例题：运用“十字相乘”进行分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）22()xabxyaby；（4）1xyxy．解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项42分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图1．1－4，得22()xabxyaby＝()()xayxby（4）1xyxy＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)（如图1．1－5所示）．（6）、关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．若关于x的方程20(0)axbxca的两个实数根是1x、2x，则二次三项式2(0)axbxca就可分解为12()()axxxx.2、因式分解的一般步骤：①多项式的各项有公因式的，先提取公因式。②各项没有公因式时，要看能否用公式来分解，二项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式或十字相乘法。③如果用上述方法不能分解，再看能否运用分组求解法④因式分解必须进行到每一个多项式都不能再继续分解为止。3、因式分解的需要注意的事项（A）因式分解因式及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能不能分解和怎样分解（B）当二次项系数为1时，如果能把二次三项式x2+px+q的常数项q分解成两个因数a、b的积，使a+b正好等于一次项系数p，那么x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=（x+a）（x+b）练习1．选择题：多项式22215xxyy的一个因式为（）（A）25xy（B）3xy（C）3xy（D）5xy2．分解因式：（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；（3）x2－2x－1；（4）4(1)(2)xyyyx．二、典例讲解－1－2xx图1．1－1－1－211图1．1－2－2611图1．1－3－ay－byxx图1．1－4－11xy图1．1－55例1、将下列各式分解因式（1）yxyyx22（2）4x（x-y）+2y（y-x）（3）x2（x-y）+4（xy-x2）例2、（1）3a2b-27b3（2）a2+b2+2ab+4a+4b+4（3）25（a+b）2-16（b-a）2例3.因式分解（1）x3-1（2）x6-y6（3）x3+x2y+xy2+y3例4.在实数范围内把下列关于x的二次三项式因式分解（1）x2+2x-1（2）x2+4x-4(3)2x2-4x-2（4）62xx（5）62xx例5、将下列各式因式分解（1）2x2-x-15（2）（x+y）2—2（x+y）-24（3）3x2+11x+10（4）4x2-4x-156(5)(x2+x)2-8(x2+x)+12例6、把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）221xx；（2）2244xxyy．三、巩固练习（一）、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）652xx__________________________________________________。（2）652xx__________________________________________________。（3）652xx__________________________________________________。（4）652xx__________________________________________________。（5）axax12_______________________________________________（6）18112xx__________________________________________________。（7）2762xx__________________________________________________。（8）91242mm__________________________________________________。（9）2675xx__________________________________________________。（10）22612yxyx_________________________________________________2、342xxxx3、若422xxbaxx则a，b。（二）．选择题：（1）若212xmxk是一个完全平方式，则k等于（A）2m（B）214m（C）213m（D）2116m（2）不论a，b为何实数，22248abab的值（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数（三）、因式分解1.在实数范围内因式分解：（1）253xx；（2）2223xx；（3）2234xxyy；（4）222(2)7(2)12xxxx7（5）.2a3+6a2-10a（6）、3722xx（7）、2223yxyx（8）、65xxx（9）、x2-(2a+1)x+a2+a（10）、3)(42yxyx8专题三、一元二次方程、二次函数与一元二次不等式解法一知识回顾（一）、根的判别式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝242bbaca；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．（二）、根与系数的关系（韦达定理）如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝ba，x1·x2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．（三）、二次函数与二次不等式解法关系1、请同学们画出二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下：x－3－2－101234y根据图像思考以下问题：1）一元二次方程x2－x－6＝0的解为：_____________________；同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2－x－6＞0的解为_____________________一元二次不等式x2－x－6＜0的解为_________________________．上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？2）我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)9的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3－2①可知：不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x＜x1，或x＞x2；不等式ax2＋bx＋c＜0的解为x1＜x＜x2．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a，由图2.3－2②可知：不等式ax2＋bx＋c＞0的解为x≠－b2a；不等式ax2＋bx＋c＜0无解．（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax