营销生产策略问题研究

姓名:xxx学号:I08660225时间:2011年1月14号营销生产策略问题研究新产品的营销生产策略分析摘要：产品销售问题是经济应用数学的一个应用领域。这个实验我采用Logistic销售模型的建模思路。首先，Logistic回归模型，主要是用来对多因素影响的事件进行概率预测，它是普通多元线性回归模型的进一步扩展，Logistic模型是非线性模型。分析题目的三种假定，结合常微分方程的基本理论，对在杭州市场上推销某种新产品A加以具体研究，并给出了企业（甲）合理的营销生产策略。在假定一，设定了新产品A价格、质量以及销售人员的销售情况等其他影响新产品销售的外在因素是相对稳定，杭州市场对产品的需求量有限，产品的销售速度与销售量和剩余需求量的积成正比三个假设，建立了Logistic销售模型并求解。在假定二下，设定了类似产品A的销售速度与销售量和剩余需求量的积成正比，新产品A的需求量、类似产品的需求量、剩余需求量之和为总需求量，在假定一和假定二下，不考虑新产品A的使用寿命三个假设，不考虑消费者同时拥有新产品A和其类似产品，建立了微分方程组销售模型并求解。在假定三下，设定了新产品A服从均值为5（年）的指数寿命分布，其的报废量与新产品A的销售量成正比，新产品A报废后，人们仍愿意进行购买三个假设，参照Logistic销售模型，建立了微分方程销售模型并求解。在模型检验及分析中，运用常微分方程的基本理论结合MATLAB图像，对三个模型作了进一步讨论，假定一在销售量达到最大销售量的一半时，产品最为畅销；假定二中常微分方程组的驻定解均不稳定；假定三下给出了销售的最大需求函数A=)1(2.02.0teqqqM及销售速度曲线，并就分析具体给出了企业（甲）合理的营销生产策略。关键词：Logistic销售模型销售速度销售量合理营销策略初值常微分方程驻定解稳定性产品寿命系数矩阵一、问题分析与解题思路新产品营销中，除了类似产品的市场占有率、新产品自身的使用寿命外，产品的价格、质量、销售人员的销售情况等因素也会影响到产品的销售。在杭州市场上还没有出现过产品A或类似的产品的假定下，当新产品A刚进入市场，人们对其功能尚不熟悉，销售速度较慢。随着销售数量的增加，人们对于新产品A的了解程度就会增加，销售速度也会增加，若这类产品销售到一定数量时，人们不会重复购置，就会使销售速度减慢。在杭州市场上有过类似的产品的假定下，不考虑消费者同时拥有新产品A和其类似产品的情况，认为类似产品的市场占有率会影响新产品A的销售，且类似产品的销售模型与新产品A的销售模型相同。在杭州市场上还没有出现过产品A或类似的产品时，考虑新产品A的寿命是有限的，即新产品A有一个服从均值为5（年）的寿命分布，新产品A的报废会使市场上的剩余销售量增加，所以，有理由认为新产品的销售速度不仅受销售量、剩余量的影响，还受到新产品A的寿命的影响。二、模型假设条件1、新产品A价格、质量以及销售人员的销售情况等其他影响新产品销售的外在因素是相对稳定，对研究不产生影响；2、市场对产品A的需求量是有限的；3、新产品A的销售速度与销售量和剩余需求量的积成正比；4、类似产品A的销售速度与销售量和剩余需求量的积成正比；5、新产品A的需求量、类似产品的需求量、剩余需求量之和为总需求量；6、在假定一和假定二下，不考虑新产品A的使用寿命，即新产品A为耐用品；7、新产品A服从均值为5（年）的指数分布；8、新产品A的报废量与新产品A的销售量成正比；9、新产品A报废后，人们仍愿意进行购买；三、符号变量的说明M——新产品A的需求量0x——初始时刻的新产品A的数量)(tx——时刻t已售出的新产品A的数量ty——时刻t已售出的类似产品的数量tz——时刻t报废的的新产品A的数量四、模型建立与求解假定一：新产品A的需求量有一个上界M，用)(tx表示时刻t已售出的新产品A的数量，则尚未购置的人数大约为M-)(tx。另外，新产品A的销售速度dtdx与销售量)(tx和剩余需求量M-)(tx的积成正比，比例系数为k。即可得假定一下的Logistic销售模型：dtdx＝)(xMkx0)0(xx①对①求解，进一步可得：tMkCeMtx1)(（C为任意常数）②代入初值0)0(xx，得：tMkexMxMxtx)()(000取1M，01.00x，1k，以下为MATLAB程序代码及)(tx的大致图像：x0=0.01;t=0:10;x=x0./(x0+(1-x0)*exp(-t));plot(t,x)假定二：用)(ty表示时刻t已售出的类似产品的数量，新产品A的需求量与类似产品的需求量之和有一个上界M，则尚未购置的人数大约为M-)(tx-)(ty。另外，类似产品的销售速度dtdy与销售量)(ty和剩余需求量M-)(tx-)(ty的积成正比，比例系数为p，由题意知，0t时刻，Mty%15)(.即可得假定二下的如下微分方程销售模型：MyxxyxMpydtdyyxMkxdtdx%15)0()0()()(0③化简后可得：MyxxyMyxpMdtdyxMyxkMdtdx%15)0()0()1()1(0④上述微分方程组④为二阶非线性微分方程组，令0)1(xMyxkM，且0)1(yMyxpM，得微分方程组④的驻定解为：)0,0(、),0(M、)0,(M、),(iiyx且Myxii。取1M，1p，1k，以下为MATLAB程序求解③的代码及得到的大致图像：t=0:0.01;[X,Y]=dsolve('Dx=x*(1-x-y),Dy=y*(1-x-y)','x(0)=0.01','y(0)=0.15')subplot(1,2,1)subplot(1,2,2)运算结果：X=1/(84*exp(-t)+16)Y=(-84/(84*exp(-t)+16)^2*exp(-t)+1/(84*exp(-t)+16)-1/(84*exp(-t)+16)^2)*(84*exp(-t)+16)假定三：用)(tz表示时刻t报废的新产品A的数量，新产品A的需求量有一个上界M，则尚未购置的人数大约为M-)(tx-)(tz.另外，新产品A的报废量与新产品A的已销售量成正比，比例系数为K,Kxtz)(.由假设，新产品A服从均值为5（年）的指数分布，故设使用寿命函数为tetf)(，由于51E(t），由此可求得2.0，则tetf2.02.0)(，即单位时间内报废的新产品A的数量为te2.01，即teK2.01。考虑此时新产品A的销售速度dtdx仍旧与销售量)(tx和剩余需求量M-)(tx-)(tz的积成正比，比例系数为q，可得假定三下的如下微分方程销售模型：0)0()(xxKxxMqxdtdx⑥化简后可得：02)0()1(xxxKqqMxdtdx⑦令1xw，算得：dtdxxdtdw2，代入⑦，得到：)1(KqqMwdtdw将teK2.01代入)1(KqqMwdtdw得：tqeqMwdtdw2.0，这是一阶线性微分方程，运用常数变易法，求得它的通解为：tqMteqMqCew2.02.0，即⑥的通解为：tqMtqeeqMCqMx2.0)2.0(2.0（C为任意常数）代入初值0)0(xx，得：tqMtqeeqxqMqMx2.00])2.0[(2.0取1M，1.00x，1q，以下为MATLAB程序代码及)(tx的大致图像：x0=0.1;t=0:10;q=1;x=0.8./((0.8*x0-1)*exp(-t)+exp(-0.2*t));plot(t,x)五、模型检验及分析假定一：对②式求一阶、二阶导数，显然，)(tx是单调递增的；而当2Mx时，22dtxd＝0，从而，可求出0t，使2)(0Mtx。由此我们可做如下分析：当0tt时，)(tx＞0，因此，)(tx单调上升；当0tt时，)(tx＜0，因此，)(tx单调下降；因此，)(tx在0tt时达到最大值。这表明，销售量小于最大销售量的一半时，销售速度是不断增大的，销售量达到最大销售量的一半时，产品最为畅销，其后销售速度开始下降。取1M，01.00x，1k，以下为MATLAB程序代码及)(tx的大致图像：x0=0.01;t=0:10;x=(x0*(1-x0)*exp(-t))./((x0+(1-x0)*exp(-t)).^2);plot(t,x))(tx企业（甲）想在杭州市场上推销新产品A，那么，初期应采取小批量生产并加以广告宣传；销售量处于最大需求量的20%～80%时，是该产品正式大批量生产的较适合时期；当销售量超过最大需求量的80%，应考虑适时转产。假定二：④式的近似线性方程组为：pMydtdykMxdtdx⑤方程组⑤有两个实的特征根：pMkM21,，考虑到问题的实际背景，10，20。因021，故驻定解)0,0(对于方程组④和⑤是不稳定的。进一步讨论可得驻定解),0(M、)0,(M对于方程组④和⑤也是不稳定的。由于所有的驻定解均为不稳定的，即初值的微小误差会导致巨大损失。因此，这样的特解不宜作为设计的依据。所以，在此不给出企业（甲）在杭州市场上推销新产品A的营销生产策略。假定三：令A)1(2.02.0teqqqM，可知：Atxt)(sup),0[，常数A代表了在包含了新产品A会报废的因素下的市场需求量，A是teK2.01的函数。取M=1，1.00x，1q，用MATLAB程序代码如下：22.002.0220'])2.0[()2.0(2.0)]2.0()2.0([tqMttqMtqeeqxqMeqMqeqMMqqMqMxx，x0=0.1;t=0:10;q=1;x=((0.64*x0+0.8)*exp(-t)+0.16*exp(-0.2*t))./(((0.8*x0-1)*exp(-t)+exp(-0.2*t)).^2);同假定一，企业（甲）想在杭州市场上推销新产品A，初期也应采取小批量生产并加以广告宣传；销售量处于最大需求量的20%～80%时，是该产品正式大批量生产的较适合时期；当销售量超过最大需求量的80%，应考虑适时转产。六、模型评价通过Logistic销售模型，根据假定二和假定三的分析，得到了微分方程销售模型，根据模型解决了在假定一和假定三下的企业（甲）在杭州市场上推销新产品A的营销生产策略问题，但在假定二中，由于没有考虑产品寿命的问题，所有的解均为不稳定的，导致所有的驻定解均不稳定，不宜给企业（甲）提供合理的生产策略。七、参考文献[1]张智丰，《数学实验》，科学教育出版社，2008年[2]肖人岳、王康，“竞争环境下的新产品销售模型”-《华南理工大学学报》，1995年09期【】[3]王高雄、周之铭等，《常微分方程》（第三版），高等教育出版社，2008年