答案--圆的解题方法归纳

OCBA圆的解题方法归纳1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。1、AB是的直径，CD是的一条弦，且CE⊥AB于E，连结AC，BC。若BE=2，CD=8，求AB和AC的长。解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB∴CE=ED=4设⊙O的半径为r，OE=OB-BE=r-2在Rt△OEC中，r=5∴AB=10又CD=8，∴CE=DE=4，∴AE=8∴AC=2、圆O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30求CD。答案2．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。1、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=2、如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC=50°，则∠ADC=ACFOEBDOCBA3．遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。1、如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半径是2、如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D；求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线解：（1）作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆（2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°∴AD是⊙O的直径连结OC，∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°，又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=30°∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线.4．遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。1、如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.2、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，若∠ABC=50°，求∠CAD的度数。解：连接CD，∠ADC=∠ABC=50°∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°∴∠CAD+∠ADC=90°∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°=40°5．遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形。1、如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CP与⊙O切于C，交AB的延长线于D，（1）求证：AC=CP．（2）若CP=6，求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1）。（参考数据：，π=3.14）解：（1）连结OC∵AO=OC∴∠ACO=∠A=30°∴∠COP=2∠ACO=60°∵PC切⊙O于点C∴OC⊥PC∴∠P=30°∴∠A=∠P∴AC=PC。（2）在Rt△OCP中，tan∠P=∴OC=2∵S△OCP=CP·OC=×6×2=6且S扇形COB=∴S阴影=S△OCP-S扇形COB=。（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。2、(1)如图OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交DC于点E．求证：CD=CE(2)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B’，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?(3)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么解题思路：本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力．解答：(1)证明：连结OD则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90°在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°在⊙O中，OA=OD∴∠A=∠ODA，∴∠CDE=∠AEO[来源:Z|xx|k.Com]又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED∴CD=CE(2)CE=CD仍然成立．∵原来的半径OB所在直线向上平行移动∴CF⊥AO于F，在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°．连结OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD．∠A=∠ODA∴∠AEF=∠CDE又∠AEF=∠CED∴∠CED=∠CDE∴CD=CE(3)CE=CD仍然成立．∵原来的半径OB所在直线向上平行移动．AO⊥CF延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90°连结OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE∴∠CDE=∠CED∴CD=CE考查目标二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。6．遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。1、如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。求证：直线L与⊙O相切。（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AECD，垂足为E，DA平分BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若301cmDBCDE，，求BD的长解题思路：运用切线的判定（1）证明：连接OA，DA平分BDE，BDAEDA．OAODODAOAD，．OADEDA．OACE∥．AEDE，9090AEDOAEDEA，．AEOA．AE是⊙O的切线．（2）BD是直径，90BCDBAD．3060DBCBDC，，120BDE．DA平分BDE，60BDAEDA．30ABDEAD．在RtAED△中，90302AEDEADADDE，，．在RtABD△中，903024BADABDBDADDE，，．DE的长是1cm，BD的长是4cm．2、PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N（1）求证：OM=AN（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长DECBOADECBOA答案【1】链接OA、OB∵AP是切线，OA是半径∴OA⊥AP∵MN⊥AP∴OA//MN∴四边形OANM是平行四边形∴OM=AN【2】设AN=X所以NP=AP-AN=9-x∴OM=x△MNP是直角△有勾股定理得出MP²=x²-18x+90证△OBM与△MNP相似（这个很简单懒得打字了自己证明）∴OB/MN=OM/MP∴（3/3）²=x²/（x²-18x+90）∴x=5∴OM=57．遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。【例9】如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为______________答案∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，∴PA=PB，∵DE是⊙O的切线，∴DA=DC，EB=EC，∵△PDE的周长为12，即PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB=2PA=12，∴PA=6．8．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；ABCDEPO②内心到三角形三条边的距离相等。1、△ABC的内切圆圆O与AC、AB、BC分别相切于点D、E、F，且AB=5cm，BC=9cm，AC=6cm，求AE、BF和CD的长。答案解：设AE为X因为圆O是三角形ABC的内切圆所以AD=AEBE=BFCF=CD那么AD=AE=XBE=AB-AE=5-XCD=AC-AD=6-XBF=BE=5-XCF=CD=6-XBC=CF+BF=6-X+5-X=9解得X=1那么AE=1BF=4CD=52、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,则△ABC的内切圆半径r=________.设△ABC的内接圆圆心为点O。过点O作OE垂直AC于E，作OF垂直BC于F，作OG垂直AB于G。连结AO，BO，CO。设内接圆的半径为X。易知四边形OECF为正方形。因此EC为X。AE为6-X。同理可得BF为8-X。易得△AEO与△AGO全等。因此AG＝AE＝6-X。△BFO与△BGO全等。因此BG＝BF＝8-X。根据勾股定理，得AB＝10。即AGBG＝10。因此6-X8-X＝10。解得X＝2。即内接圆的半径为2。九．遇到三角形的外接圆时1、直角三角形，如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，求△ABC的外接圆的半径.解：∵AB＝13，BC＝12，AC＝5，∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠C＝90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径，∴△ABC的外接圆的半径为6.5.2、如图，已知，在△ABC中，AB＝10，∠A＝70°，∠B＝50°，求△ABC外接圆⊙O的半径.分析：可转化为①的情形解题.解：作直径AD，连结BD.则∠D＝∠C＝180°－∠CAB－∠BAC＝60°，∠DBA＝90°∴AD＝DsinAB＝60sin10＝3320∴△ABC外接圆⊙O的半径为3310.ABCO十．遇到三角形的外接圆和内切圆时1、如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．1、5（提示：连ID，IE，IF，IB，证四边形CEID为正方形，求出ID=CE=2，证BF=BE=4，OF=1，再在Rt△IFO中求IO）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（C）A．1.5，2.5B．2，5C．1，2.5D．2，2.5