基本函数求导公式

1基本初等函数求导公式(1)0)(C(2)1)(xx(3)xxcos)(sin(4)xxsin)(cos(5)xx2sec)(tan(6)xx2csc)(cot(7)xxxtansec)(sec(8)xxxcotcsc)(csc(9)aaaxxln)((10)(e)exx(11)axxaln1)(log(12)xx1)(ln，(13)211)(arcsinxx(14)211)(arccosxx(15)21(arctan)1xx(16)21(arccot)1xx函数的和、差、积、商的求导法则设)(xuu，)(xvv都可导，则（1）vuvu)(（2）uCCu)(（C是常数）（3）vuvuuv)(（4）2vvuvuvu反函数求导法则若函数)(yx在某区间yI内可导、单调且0)(y，则它的反函数)(xfy在对应区间xI内也可导，且)(1)(yxf或dydxdxdy1复合函数求导法则2设)(ufy，而)(xu且)(uf及)(x都可导，则复合函数)]([xfy的导数为dydydudxdudx或()()yfux２.双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：(sh)chxx(ch)shxx21(th)chxx21(arsh)1xx21(arch)1xx21(arth)1xx一、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程),(yxf=0(1)求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.隐函数存在定理1设函数),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00yxF，,0),(00yxFy，则方程),(yxF=0在点),(00yx的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件)(00xfy，并有yxFFdxdy(2)公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。将方程(1)所确定的函数)(xfy代入，得恒等式30))(,(xfxF,其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得,0dxdyyFxF由于yF连续，且0),(00yxFy，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内0yF，于是得.yxFFdxdy如果),(yxF的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x的复合函数而再一次求导，即得dxdyFFyFFxdxydyxyx22.232222yxyyyxxyyxxyxyxyyyxyyxyzyxxFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF例1验证方程0122yx在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x=0时，1y的隐函数)(xfy，并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值。解设),(yxF122yx，则yFxFyx2,2,02)1,0(,0)1,0(yFF.因此由定理1可知，方程0122yx在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x=0时，1y的隐函数)(xfy。下面求这函数的一阶和二阶导数yxFFdxdy=yx，00xdxdy;22dxyd=,1)(332222yyxyyyxxyyyxy1022xdxyd。4隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程F(zyx,,)=0(3)就有可能确定一个二元隐函数。与定理1一样，我们同样可以由三元函数F(zyx,,)的性质来断定由方程F(zyx,,)=0所确定的二元函数z=),(yx的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。隐函数存在定理2设函数F(zyx,,)在点),,(000zyxP的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),,(000zyxF，0),,(000zyxFz，则方程F(zyx,,)=0在点),,(000zyx的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz，它满足条件),(000yxfz，并有xz=zxFF,yz=zyFF.(4)这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.由于F(yx,,f),(yx)≡0,将上式两端分别对x和y求导，应用复合函数求导法则得xF+zFxz=0,yF+zFyz=0。因为zF连续，且0),,(000zyxFz,所以存在点),,(000zyx的一个邻域，在这个邻域内zF≠0，于是得xz=zxFF,yz=zyFF。例2设04222zzyx，求.22xz解设F(zyx,,)=zzyx4222，则xF=2x,zF=42z.应用公式(4)，得xz=zx2。再一次x对求偏导数，得22xz2)2()2(zxzxz5.)2()2()2(2)2(3222zxzzzxxz二、方程组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数，例如，考虑方程组.0),,,(,0),,,(zuyxGvuyxF(5)这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。在这种情形下，我们可以由函数F、G的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。隐函数存在定理3设函数),,,(vuyxF、),,,(vuyxG在点),,,(00000vuyxP的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0),,,(0000vuyxF，0),,,(0000vuyxG,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):J),(),(vuGF=vGuGvFuF在点),,,(00000vuyxP不等于零，则方程组0),,,(vuyxF，0),,,(vuyxG在点),,,(0000vuyx的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(yxvvyxuu，它满足条件),(),,(000000uxvvyxuu，并有xu),(),(1vxGFJ,vuvuvxvxGGFFGGFFxv),(),(1xuGFJ,vuvuxuxuGGFFGGFF(6)6yu),(),(1vyGFJ,vvvuvyvyGGFFGGFFyvJ1),(),(yuGF.uyuyuvuvFFGGFFGG这个定理我们不证.例3设1,0xvyuyvxu，求xu,yu,xv和yv.解此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后一种方法来做。将所给方程的两边对x求导并移项，得.,vxvxxuyuxvyxux在022yxxyyxJ的条件下，.,2222yxxvyuxyyxvyuxxvyxyvxuxyyxxvyuxu将所给方程的两边对y求导，用同样方法在022yxJ的条件下可得,22yxyuxvyu.22yxyvxuyv