(同济大学)第5讲-全部--逆解法与半逆解法

第5讲逆解法与半逆解法同济大学孙远韬[e-mail]00=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂yxyyxyxxfxyfyxτστσ当体力是常量时，特解可取为0,=−=−=xyyyxxyfxfτσσ调和函数齐次方程00=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂xyyxxyyyxxτστσ齐次方程的通解可取为:yBxByxBxyxyxAyAyxAyxyxxyyyxyxyyxyxyxxyxx∂∂−=∂∂=∃∂∂−=∂∂⇒=∂∂+∂∂∂∂−=∂∂=∃∂∂−=∂∂⇒=∂∂+∂∂τστστστστστσ,),(0,),(0),(yxxAyBϕ∃∂∂=∂∂xyxyxyyx∂∂∂−=∂∂=∂∂=ϕτϕσϕσ2222200=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂yxyyxyxxfxyfyxτστσ方程的全解为方程的通解加上方程＋的任一特解xyyfxxfyxyyyxx∂∂∂−=−∂∂=−∂∂=ϕτϕσϕσ22222用应力表示的相容方程：xyyfxxfyxyyyxx∂∂∂−=−∂∂=−∂∂=ϕτϕσϕσ22222()02222=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂yxyxσσ0),(),(422222=∇=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂yxyxyxϕϕ取满足相容方程的Φ一、逆解法和半逆解法（一）逆解法的基本步骤：求出应力分量xyyxτσσ,,根据边界条件求出面力考察能解决什么问题024422444=∂Φ∂+∂∂Φ∂+∂Φ∂yyxx逆解法与半逆解法多项式解答0),(),(422222=∇=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂yxyxyxϕϕ逆解法1.当体力为常量，按应力函数求解平面应力问题时，应满足40.(a)Φ∇=σS()(),.(b)xyxxyxyysslmfmlfστστ+=+=ΦΦ⑶多连体中的位移单值条件。(c)⑵S=上应力边界条件,⑴A内相容方程对于单连体，(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。由求应力的公式是Φ,22xfyΦσxx−∂∂=,22yfxΦσyy−∂∂=.2yxΦτxy∂∂∂−=(d)平面问题的多项式解答不难验证：332222,,,,,,,,1yxxyyxyxyx等项及它们的线性组合均满足相容方程。下面用逆解法确定一下各种多项式能解决的问题。1.一次式cybxa++=Φ当不计体力时，对应的应力状态为：0===xyyxτσσ相应边界条件为：0==yxff可见线性函数对应于无面力无应力的状态。故:应力函数中加减一次式，不影响应力。024422444=∂Φ∂+∂∂Φ∂+∂Φ∂yyxx2.二次式22cybxyax++=Φ先来看2ax=Φ不计体力时，0,2,022222=∂∂Φ∂−==∂Φ∂==∂Φ∂=yxaxyxyyxτσσ如取矩形板（或无限长柱体），则对应于两侧受拉（a0）或两侧受压(a0)的情况。3．3ay=Φ对应的应力分量式：如图如果矩形梁侧面尺寸较小，面力可简化为两个力偶，则对应的是纯弯曲的问题。0==xyyτσ22yx∂Φ∂=σ,6ay=矩形梁的纯弯曲梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。h/2h/2lyx(lh)oMM⑴由逆解法得出，可取，且满足⑵求应力.04=∇Φ,6ayσx=.0==xyyστ3ayΦ=(a)求解步骤：04=∇Φ本题是平面应力问题,且为单连体，若按求解，应满足相容方程及上的应力边界条件。ΦΦσss=⑶检验应力边界条件，原则是:b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。主要边界,2/hy±=,0)(2/=±=hyyσ/2()0.(b)xyyhτ=±=从式(a)可见，边界条件(b)均满足。,0)(,0==lxxyτ满足。主要边界次要边界x=0,l,(c)的边界条件无法精确满足。xσ次要边界/20,/2/20,/2()d10,(d)()d1hxxlhhxxlhσyσyyM=−=−⎫⋅=⎪⎪⎬⎪⋅⋅=⎪⎭∫∫。用两个积分的条件代替当时，即使在边界上面力不同于的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得出。3/2hMa=昀终得应力解,123yIMyhMσx==(e)hllx,0=xσ.0==xyyστ设图中所示的矩形长梁，lh，试考察应力函数能解决什么样的受力问题？)43(2223yhxyhFΦ−=yxolh/2h/2(lh)矩形梁按逆解法。1.将代入相容方程，可见是满足的。有可能成为该问题的解。ΦΦ04=∇Φ2.由求出应力分量Φ).41(23,0,1222222322hyhFyxΦxΦσhFxyyΦσxyyx−−=∂∂∂−==∂∂=−=∂∂=τ因此，在的边界面上，无任何面力作用，即3.由边界形状和应力分量反推边界上的面力。在主要边界（大边界）上，2/hy±=,0=yσ0.yxτ=2/hy±=0.xyff==在x=0，l的次要边界（小边界）上，).41(23)(,12)(),();41(23)(,0)(),(02232200hyhFfyhFlσfxlxhyhFfσfxxlxxyylxxxxxyyxxx−−==−===−=−==−======ττ面正面负在x=0,l小边界上的面力如下图中(a)所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在x=0处受集中力F作用的问题。yxff,FFM(a)(b)⑶代入，解出；3.半逆解法步骤：04=∇ΦΦΦ半逆解法⑵由应力(d)式，推测的函数形式；⑴假设应力的函数形式（根据受力情况，边界条件等）；（二）半逆解法的基本步骤：根据问题的特点设出部分应力分量求出应力函数Φ是否满足相容方程求出其他应力分量结束是否满足边界条件否是是否逆解法与半逆解法多项式解答简支梁受均布荷载简支梁，受均布荷载及两端支撑反力。12××hlq。qlqqlqlyxollh/2h/221()(),2xσMqlxqlx∝=+−+2123()()();xσxfyxfyfy=++(),xysFqlqlxτ∝=−++12()();xyxfyfyτ=+,yσq∝=常数()yσfy=。现采用此假设。按半逆解法求解。⑴假设应力分量。由材料力学,,,xsyσMτFσq∝∝∝因为因为所以，可假设所以，可假设因为所以，可假设⑵由应力分量推出应力函数的形式。由),(22yfσxΦy==∂∂对x积分，),()(1yfyxfxΦ+=∂∂212()()().2xΦfyxfyfy=++对x再积分，(a)⑶将代入相容方程，求解:.0)d)(d2d)(d(d)(dd)(d2122424414244=+++yyfyyfxyyfxyyf相容方程对于任何均应满足,故yx,012,,xxx的系数均应等于0，由此得三个常微分方程。ΦΦ半逆解法⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++−−=++=+++=.610,,2345223123KyHyyByAfGyFyEyfDcyByAyf式(b)中已略去对于的一次式。将式(b)代入式(a)，即得。ΦΦ(b)半逆解法解出:对称性条件─由于结构和荷载对称于轴，故应为的偶函数，为x的奇函数，故。⑷由求应力。yyxσσ,xxyτ0===GFEΦ,Φ)23()23(2622)26()26(22223232GFyEyCByAyxDCyByAyKHyByAyFEyxBAyxxyyx++−++−=+++=++−−+++=τσσ⑸考察边界条件。.0)(,)(,0)(2/2/2/=−==±=−==hyxyhyyhyyτqσσ由此解出系数A,B,C,D。主要边界,02/=±=hy主要边界次要边界。qldyydyσdyσhhlxxylxhhxlxhhx−=⋅=⋅⋅=⋅∫∫∫−==−=−1)(,01)(,01)(2/2/2/2/2/2/τ由此解出H，K.另一次要边界(x=-l)的条件，自然满足。应用圣维南原理，列出三个积分条件，,lx=昀后应力解答：)534()(622223−+−=hyhyqyxlhqσx),534(22−+=hyhyqyIM应力,)4(6223bISFyhxhqSxy=−−=τ.)21)(1(22hyhyqσy−−−=应力的量级当时,x~l同阶，y~h同阶.hlxσ第一项同阶,（与材料力学解同）;2)(~hlq第二项同阶,（弹性力学的修正项）q~xyτ)(~hlq同阶,（与材料力学解同）yσq~同阶,（材料力学中不计）当时,量级的值很小,可以不计。应力与材料力学解比较:昀主要量级,和次要量级,在材料力学中均已反映，且与弹性力学相同。2)(hlqhlq昀小量级~,在材料力学中没有。q当时,仅占主项的1/15(6%),hl=yIMhlqxσ223(4),5yyqhh−中的弹性力学修正项：