专题2.5-指数与指数函数---2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版)

1第二篇函数及其性质专题2.05指数与指数函数【考试要求】1.通过对有理数指数幂amn(a0，且a≠1；m，n为整数，且n0)、实数指数幂ax(a0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.【知识梳理】1.根式(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈Q.3.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x0时，y1；当x0时，y1；2当x0时，0y1当x0时，0y1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【微点提醒】1.画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图象越高，底数越大.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.()(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.()(3)函数y＝2x－1是指数函数.()(4)函数y＝ax2＋1(a1)的值域是(0，＋∞).()【教材衍化】2.(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象经过2，13，则f(－1)＝()A.1B.2C.3D.33.(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为()A.y＝a(1＋p%)x(0xm)B.y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)3C.y＝a(1＋xp%)(0xm)D.y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)【真题体验】4.(2018·晋中八校一模)设a0，将a2a·3a2表示成分数指数幂，其结果是()A.a12B.a56C.a76D.a325.(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－13x，则f(x)()A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是减函数6.(2019·潍坊检测)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A.abcB.acbC.bacD.bca【考点聚焦】考点一指数幂的运算【例1】化简下列各式：4(1)2350＋2－2·214－12－(0.01)0.5；(2)a3b23ab2（a14b12）4a－13b13(a0，b0).【规律方法】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【训练1】化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；(2)56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12.考点二指数函数的图象及应用【例2】(1)(2019·镇海中学检测)不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是()5A.1，－12B.1，12C.－1，－12D.－1，12(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.【规律方法】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【训练2】(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a1，b0B.a1，b0C.0a1，b0D.0a1，b0(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.考点三指数函数的性质及应用多维探究角度1指数函数的单调性【例3－1】(1)下列各式比较大小正确的是()6A.1.72.51.73B.0.6－10.62C.0.8－0.11.250.2D.1.70.30.93.1(2)设函数f(x)＝12x－7，x0，x，x≥0，若f(a)1，则实数a的取值范围是________.角度2与指数函数有关的复合函数的单调性【例3－2】(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增加的，则m的取值范围是______.(2)若函数f(x)＝13ax2＋2x＋3的值域是0，19，则f(x)的单调递增区间是________.角度3函数的最值问题【例3－3】如果函数y＝a2x＋2ax－1(a0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.【规律方法】1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.72.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.【易错警示】在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【训练3】(1)(2019·山师附中测评)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝1a0.1的大小关系是()A.M＝NB.M≤NC.MND.MN(2)函数f(x)＝3x2－5x＋4的单调递增区间为________，单调递减区间为________.(3)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).若不等式1ax＋1bx－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________.【反思与感悟】1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0a1和a1两种情况分类讨论.【易错防范】1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换8元后“新元”的范围.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·北京延庆区模拟)下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是()A.y＝sinxB.y＝x3C.y＝12xD.y＝log2x2.函数y＝ax－1a(a0，且a≠1)的图象可能是()3.(2019·东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()A.y＝1－xB.y＝|x－2|C.y＝2x－1D.y＝log2(2x)94.设x0，且1bxax，则()A.0ba1B.0ab1C.1baD.1ab5.若函数f(x)＝a|2x－4|(a0，且a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是()A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]二、填空题6.化简（a23·b－1）－12·a－12·b136a·b5＝________.7.函数y＝14x－12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.8.设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是________.10三、解答题9.已知函数f(x)＝12ax，a为常数，且函数的图象过点(－1，2).(1)求a的值；(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值.10.(2019·长沙一中月考)已知函数f(x)＝3x＋a3x＋1为奇函数.(1)求a的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·天津河西区质检)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()1112.(2019·衡阳检测)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x0恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－2，1)B.(－4，3)C.(－3，4)D.(－1，2)13.(2018·上海卷)已知常数a0，函数f(x)＝2x2x＋ax的图象经过点Pp，65，Qq，－15.若2p＋q＝36pq，则a＝________.14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|，(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.12【新高考创新预测】15.(多填题)若f(x)＝a（2x＋1）－22x＋1是R上的奇函数，则实数a的值为________，f(x)的值域为________.