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第1页共4页OxyPAB椭圆一个性质的应用性质如图1,椭圆22221(0)xyabab上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A、B连线PA、PB与坐标轴不平行,则直线PA、PB的斜率之积PAPBkk为定值22ba.证明设(,)Pxy,11(,)Axy,则11(,)Bxy.所以12222byax①1221221byax②由①-②得22122212byyaxx,所以22212212abxxyy,所以222111222111PAPByyyyyybkkxxxxxxa为定值.这条性质是圆的性质:圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广,它充分揭示了椭圆的本质属性,因而能简洁解决问题,下举例说明.一、证明直线垂直例1如图2,已知椭圆22142xy,,AB是其左、右顶点,动点M满足MBAB,连结AM交椭圆于点P.求证:MOPB.证明设(2,)My,由性质知12PAPBkk,即12MAPBkk③图1图2第2页共4页直线MA,MO的斜率分别为24MAyyka,2MOyyka,所以12MAMOkk④将④代入③得1MOPBkk,所以MOPB.例2如图3,PQ是椭圆不过中心的弦,A1、A2为长轴的两端点,A1P与QA2相交于M,PA2与A1Q相交于点N,则MN⊥A1A2.证明设M(x1,y1),N(x2,y2).由性质知1222PAPAbkka,即1222MANAbkka,所以222211abaxyaxy⑤1222QAQAbkka,即2122MANAbkka,所以221122abaxyaxy⑥比较⑤与⑥得1221()()()()xaxaxaxa,所以2112()()axxaxx,所以12xx.所以MN⊥x轴,即MN⊥A1A2.二、证明直线定向例3如图4,已知A(2,1),B(-2,-1)是椭圆E:x26+y23=1上的两点,C,D是椭圆E上异于A,B的两点,且直线AC,BD相交于点M,直线AD,BC相交于点N.CA,CB,DA,DB的斜率都存在.求证:直线MN的斜率为定值.证明设(,)MMMxy,(,)NNNxy,由性质知12CACBkk,即12MANBkk,12DADBkk,即12NAMBkk.所以111222NMMNyyxx,11(224)2MNMNMNMNyyyyxxxx⑦xyAOBCDMN图4图3第3页共4页111222NMMNyyxx,11(224)2MNMNMNMNyyyyxxxx⑧由⑦-⑧得()MNMNyyxx所以1MNk,即直线MN的斜率为定值1.三、证明点的纵坐标之积为定值例4如图5,已知椭圆C:x24+y23=1,过椭圆C的右焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点,点B关于坐标原点的对称点为P,直线PA,PB分别交椭圆C的右准线l于M,N两点.记M,N两点的纵坐标分别为yM,yN,求证:yM·yN为定值.证明当直线AB的斜率k不存在时,易得yM·yN=-9.当直线AB的斜率k存在时,由性质知kPAk=-34,所以kPA=-34k.设A(x1,y1),B(x2,y2),则P(-x2,-y2),所以直线PA的方程为y+y2=-34k(x+x2),因为右准线l的方程为4x,所以yM=-34k(x2+4)-y2,因为,,AFB三点共线,所以直线AB的斜率k=y2x2-1.所以yM=-3x2+4x2-14y2-y2.因为直线PB的方程为y=y2x2x,所以yN=4y2x2.所以yMyN=-3×x2+4x2-1x2-4y22x2.又因为x224+y223=1,所以4y22=12-3x22,所以yMyN=-3×x2+4x2-1+4-x22x2=-9,所以yMyN为定值-9.图5第4页共4页由以上几个例题,同学们会看到,这个性质解决问题中起到了化繁为简作用,希望同学们领悟其中的道理,并进一步运用这个性质解决更多的问题.
本文标题:小专题椭圆----斜率之积是定值
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