《完全平方公式》典型例题

1/5《完全平方公式》典型例题例1利用完全平方公式计算：（1）2)32(x；（2）2)42(aab；（3）2)221(bam．例2计算：（1）2)13(a；（2）2)32(yx；（3）2)3(yx．例3用完全平方公式计算：（1）2)323(xy；（2）2)(ba；（3）2)543(cba．例4运用乘法公式计算：（1）))()((22axaxax；（2）))((cbacba；（3）2222)1()1()1(xxx．例5计算：（1）2241)321(xx；（2）)212)(212(baba；（3）22)()(yxyx．例6利用完全平方公式进行计算：（1）2201；（2）299；（3）2)3130(例7已知12,3abba，求下列各式的值．（1）22ba；（2）22baba；（3）2)(ba．例8若2222)()(3cbacba，求证：cba．2/5参考答案例1分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算．解：（1）22229124)3(3222)32(xxxxx；（2）222222216164)4(422)2()42(ababaaaababaab；（3）22224241)221(bambmabam．说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现223124)32(xxx的错误．例2分析：（2）题可看成2]3)2[(yx，也可看成2)23(xy；（3）题可看成2)]3([yx，也可以看成2])3[(yx，变形后都符合完全平方公式．解：（1）2221132)3()13(aaa1692aa（2）原式22)3(3)2(2)2(yyxx229124yxyx或原式2)23(xy22)2(232)3(xxyy224129xxyy（3）原式2)]3([yx2)3(yx2232)3(yyxx2269yxyx或原式22)3(2)3(yyxx3/52269yxyx说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用．例3分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式x32为公式中a，y3为公式中b，利用差的平方计算；第（2）小题应把2)(ba化为2)(ba再利用和的平方计算；第（3）小题，可把任意两项看作公式中a，如把)43(ba作为公式中的a，c5作为公式中的b，再两次运用完全平方公式计算．解：（1）2)323(xy=2229494)332(yxyxyx（2）2)(ba=2222)(bababa（3）22225)43(10)43()543(cbacbacba=abbcbcaca24162540309222说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：222)(baba，222)(baba．例4分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项ca，和互为相反数的项b，所以先利用平方差公式计算])[(bca与])[(bca的积，再利用完全平方公式计算2)(ca；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为22)]1)(1(10[(xxx，再利用乘法公式计算．解：（1）原式=422422222222)())((axaxaxaxax（2）原式=22)(])][()[(bcabcabca=2222bcaca（3）原式=22222)]1)(1[()]1)(1)(1[(xxxxx=12)1(4824xxx．说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，4/5以达到简化运算的目的．例5分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式．解：（1）xxxxxx3941934141)321(2222；（2）]21)2][(21)2[()212)(212(babababa414441)2(222bababa；（3）)2(2)()(222222yxyxyxyxyxyxxyyxyxyxyx4222222．说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究．例6分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两个数的和或差．解：（1）4040112002200)1200(201222；（2）980111002100)1100(99222．（3）2)3130(＝222)31(3130230)3130(.219209120900说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的．例7分析：（1）由完全平方公式2222)(bababa，可知22ba2)(baab2，可求得3322ba；（2）45)12(332222abbababa；（3）57)12(2332)(222bababa．解：（1）33249)12(232)(2222abbaba（2）451233)12(33)(2222abbababa5/5（3）abbabababa2)(2)(22222572433)12(233说明：该题是2222)(bababa是灵活运用，变形为abbaba2)(222，再进行代换．例8分析：由已知条件展开，若能得出,0)()()(222accbba就可得到,0,0,0accbba进而,,cbaaccbba同时此题还用到公式bcacabcbacba222)(2222．证明：由,)()(32222cbacba得acbcabcbacba222333222222.0222222222bcacabcba则0)2()2()2(222222aacccbcbbaba.0)()()(222accbba∵.0)(,0)(,0)(222accbba∴.0,0,0accbba即,,,accbba得cba．