全等三角形知识总结及典型例题

1全等三角形知识总结及典型例题知识点1：全等三角形的定义和表示方法（1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角（2）“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。例1.如图11.1-3所示，图中两个三角形能完全重合，下列写法正确的是（）A．△ABE≌△AFBB．△ABE≌△ABFC．△ABE≌△FBAD．△ABE≌△FAB知识点2：全等三角形的性质性质：全等三角形中，对应边相等，对应角相等。【注意：全等三角形的对应线段（对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线）相等；全等三角形的周长相等，面积相等。】例2.如图11.1-7，△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，AB=8，AD=6，BD=7，则BE的长是（）A．1B．2C．4D．6例3.如图11.1-12，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=4.5cm．（1）求DE的长；（2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由．（1）“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。（2）“边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（3）“角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（4）“角角边”（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（5）“斜边，直角边”（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。【注意：①三角形全等证明时要注意应用“公共边”、“公共角”、“对顶角”等。②证明线段或角相等通常转换证明线段或角所在的三角形全等。③在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等。④有两边和一角对应相等，角必须是这两边的夹角。⑤“HL”只适合于Rt⊿。⑥利用全等三角形可以测出不能（或不易）直接测量长度的线段长，例如，河宽，或利用全等测量小口瓶的内径等。】例4(SSS).(1)如图，点A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF求证：DEAB//(2)在ABC中，90C，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD，AE=BC，DE=DC．求证：ABDEABEFACBDEEDABC2例5(SAS).(1)已知：如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。试说明：△ABD≌△ACE。(2)已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AD=BD，DC=DE，∠C=50°。求∠EBD的度数。例6(ASA).(1)已知：如图,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.F、C在直线BE上．求证：AB=DE,AC=DF．例7(AAS).已知：如图AC⊥CD于C,BD⊥CD于D,M是AB的中点,连结CM并延长交BD于点F。求证：AC=BF．例8(HL).(1)如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB。求证:AN平分∠BAC。(2)公路上A、B两站（视为直线上的两点）相距26km，C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=16km，BC=10km，现要在公路AB上建一个土特产收购站E，使CD两村庄到E站的距离相等，那么E站应建在距A站多远才合理？知识点4、角平分线的作法、性质、判定和辅助线1.尺规作图画角平分线①、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。②、分别以M、N为圆心，大于MN21的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。③、画射线OC。射线OC即为所求。【如图1】2.角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。BA21NMCAEBCD┐┎3EFCBAD图形表示：若CD平分∠ADB,点P是CD上一点PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE=PF【如图2】3.角平分线的判定定理：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。图形表示：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE=PF，则PD平分∠ADB【如图3】4.角平分线常作的辅助线：遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线得到相等．图1图2图3例9（角平分线性质）.（1）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，则DE的长为_________cm．（2）已知：如图，AM是∠BAC的平分线，O是AM上一点，过点O分别作AB，AC的垂线，垂足为F，D，且分别交AC、AB于点G，E．求证：OE=OG．例10（角平分线判定）.课本p52第7题例119（角平分线辅助线）.课本p50第2题知识点3、全等三角形的判定MACBEOFDG