DEA模型CCR

讲数据包络分析——评价相对有效性的DEA模型例1某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x1、流动资金x2、职工人数x3）和产出（总产值y1、利税总额y2）的有关数据如下表企业指标甲乙丙x1（万元）41527x2（万元）1545x3（万元）825y1（万元）602224y2（万元）1268•哪个企业生产率最高？•多指标输入和多指标输出例2某地区为了优化产业结构，对该地区的建筑、食品、纺织、医药、电子和房地产产业进行分析，确定相对优势的产业，为制定地区产业发展战略服务。序号指标行业投入指标产出指标固定资产投资x1劳动力用量x2流动资产占用x3利税额y1增加值y21建筑8124125608420357369702食品606152304320351058703纺织1013042605820421091204医药2034223101256012680216805电子2056112101351021760432506房地产4632179012640792021320例3(多指标评价问题)某市教委需要对六所重点中学进行评价,其相应的指标如下表所示,表中的生均投入和非低收入家庭百分比是输入指标,生均写作得分和生均科技得分是输出指标.请根据这些指标,评价中哪些学校是相对有效的.学校ABCDEF生均投入(百元/年)89.3986.25108.13106.3862.447.19非低收入家庭百分比(/%)64.39999.69696.279.9生均写作得分/分25.228.229.426.427.225.2生均科技得分/分223287317291295222•1978年由著名的运筹学家A.Charnes(查恩斯),W.W.Cooper(库伯),及E.Rhodes(罗兹)首先提出了一个被称为数据包络分析（DataEnvelopmentanalysis,简称DEA模型）的方法，用于评价相同部门间的相对有效性（因此被称为DEA有效）.他们的第一个模型被命名为C2R模型.这一模型是用来研究具有多个输入,特别是具有多个输出的“生产部门”同时为“规模有效”与“技术有效”的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯,库伯,格拉尼(B.Golany),赛福德(L.Seiford)和斯图茨(J.Stutz)给出另一个模型(称为C2GS2模型),这一模型用来研究生产部门间的“技术有效性”.1987年查恩斯,库伯,魏权龄和黄志明又得到了称为锥比率的数据包络模型——C2WH模型。这一模型可用来处理具有过多的输入及输出的情况,而且锥的选取可以体现决策者的“偏好”.灵活地应用这一模型,可以将C2R模型中确定出的DEA有效决策单元进行分类或排队.•数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域.•查恩斯和库伯等人的第一个应用DEA的十分成功的案例,就是评价为弱智儿童开设公立学校项目的效果.在评估中,输出包括“自尊”等无形的指标;输入包括父母的照料和父母的文化程度等,无论哪种指标都有无法与市场价格相比较,也难以轻易定出适当的权重(权系数),这也是DEA的优点之一.•DEA的优点吸引众多的应用者,应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行,基地维修与保养,以及陆军征兵,城市,银行等方面.目前,这一方法应用的领域在不断地扩大.它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性(例如投资项目的评价);研究在决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何(例如建立新厂后,新厂相对于已有的一些工厂是否为有效).DEA是对其决策单元（同类型的企业或部门）的投入规模、技术有效性作出评价，即对各同类型的企业投入一定数量的资金、劳动力等资源后，其产出的效益（经济效益和社会效益）作一个相对有效性评价。例1某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x1、流动资金x2、职工人数x3）和产出（总产值y1、利税总额y2）的有关数据如下表企业指标甲乙丙x1（万元）41527x2（万元）1545x3（万元）825y1（万元）602224y2（万元）1268由于投入指标和产出指标都不止一个，故通常采用加权的办法来综合投入指标值和产出指标值。对于第一个企业，产出综合值为60u1+12u2,投入综合值4v1+15v2+8v3，其中u1u2v1v2v3分别为产出与投入的权重系数。我们定义第一个企业的生产效率为：总产出与总投入的比，即vvvuuh32121181541260类似，可知第二、第三个企业的生产效率分别为：vvvuuh3212122415622vvvuuh4527824321213我们限定所有的hj值不超过1，即，这意味着：若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一生产系统是相对有效的，若hk1，那么该企业相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。1maxhj因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下：这是一个分式规划，需要将它化为线性规划才能求解。vvvuuh32121181541260max12415622321212vvvuuh14527824321213vvvuuh181541260321211vvvuuh设vvvt32181541vtwutiiii,则此分式规划可化为如下的线性规划1w8w15w4w4w5w27824w2w4w15622w8w15w41260.t.s1260hmax321321213212132121211vvvuuh32121181541260max12415622321212vvvuuh14527824321213vvvuuh1v8v15v4u12u60h321211设vi为第i个指标xi的权重，ur为第r个产出yr指标的权重，则第j个企业投入的综合值为，产出的综合值为其生产效率定义为:于是问题实际上是确定一组最佳的权变量v1,v2,v3和u1,u2，使第j个企业的效率值hj最大。这个最大的效率评价值是该企业相对于其他企业来说不可能更高的相对效率评价值。xvij31iiyurj21rr31iiji21rrjrjxvyuh我们限定所有的hj值(j=1,2,3)不超过1，即maxhj≤1。这意味着，若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一系统是相对而言有效的；若hk1，那么该企业相对于其他企业来说，生产率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的根据上述分析，可以建立确定任何一个企业（如第3个企业即丙企业）的相对生产率最优化模型如下：3,2,1i,0,2,1r,03,2,1j,1.t.sHmaxvuhhirj3☆评价决策单元技术和规模综合效率的C2R模型•假设有n个部门或单位(称为决策单元,DecisionMakingUnits),这n个单元都具有可比性.对于每个企业都有m种类型的“输入”（表示该单元对“资源”的消耗）以及p种类型的“输出”（表示该单元在消耗了“资源”之后的产出）。这n个企业及其输入-输出关系如下：x11x12...x1j...x1nx21x22...x2j...x2n：：：：：：xm1xm2...xmj...xmnv11→v22→：：vmm→12...j...n→1u1→2u2：：→susy11y12...y1j...y1ny21y22...y2j...y2n：：：：：：xm1ym2...ymj...ymn在上表中,xij(i=1,2,...,m,j=1,2,...,n)表示第j个决策单元对第i种输入的投入量，并且满足xij0;yrj(r=1,2,...,s,j=1,2,...,n)表示第j个决策单元对第r种输出的产出量，并且满足yrj0;vi(i=1,2,...,m)表示第i种输入的一种度量(或称为权);ur(r=1,2,...,s)表示第r种输出的的一种度量(或称为权).将上表中的元素写成向量形式，如下表所示.X1X2...Xj...Xnv→12...j...n→uY1Y2...Yj...Yn在上表中,Xj,Yj(j=1,2,...,n)分别为决策单元j的输入、输出向量，v,u分别为输入、输出权重.每个决策单元的效率评价指数定义为：m1iijip1rrjrjxvyuhj=1,2,…,nm1iijip1rrjrjxvyuhj=1,2,…,n,,,2,1,njXvYuhjjjTT•向量表示而第j0个决策单元的相对效率优化评价模型为：上述模型中xij,yrj为已知数（可由历史资料或预测数据得到），vi,ur为变量。模型的含义是以权系数vi,ur为变量，以所有决策单元的效率指标hj为约束，以第j0个决策单元的效率指数为目标。即评价第j0个决策单元的生产效率是否有效，是相对于其他所有决策单元而言的。m1i0ijip1r0rjr0jxvyuhmaxs.t.vi,ur≥0,i=1,2,…,m;r=1,2,…,pn,...,2,1j,1m1iijip1rrjrxvyu（1）这是一个分式规划模型，我们必须将它化为线性规划模型才能求解。为此，令m1i0ijixv1tvwiiturrt则模型（1）转化为：p,...,2,1r;m,..2,1i,0,1n,...,2,1j,0.t.swxwxwyyhmaxir0ijm1iip1rm1iijirjrp1r0rjr0j（2）p,...,2,1r;m,..2,1i,0,1n,...,2,1j,0.t.swxwxwyyhmaxir0ijm1iip1rm1iijirjrp1r0rjr0j（2）写成向量形式有:njXXYtsYhTjTjTTj,...,2,10,010..max000定义1:若该模型中则称决策单元j0是弱DEA有效的.定义2:若该模型中存在最优解并且,有则称决策单元j0是弱DEA有效的.,12RCV,0,0,12RCV例2某地区为了优化产业结构，对该地区的建筑、食品、纺织、医药、电子和房地产产业进行分析，确定相对优势的产业，为制定地区产业发展战略服务。序号指标行业投入指标产出指标固定资产投资x1劳动力用量x2流动资产占用x3利税额y1增加值y21建筑8124125608420357369702食品606152304320351058703纺织1013042605820421091204医药2034223101256012680216805电子2056112101351021760432506房地产4632179012640792021320•对建筑业的线性规划模型为0,,,,18420125608124021320792012640179046320432502176013510121020561021680126801256023102034209120421058204260101300587035104320523060610697035738420125608124..69703573max2132132121321213212132121321213212132121tsV•其他行业的模型可仿此建立，共需针对六个行业，建立六个模型。•六个模型的求解结果为：电子、房地产业的最优值为1，为DEA有效；建筑、食品、纺织、医药行业的最优值小于1，为DEA无效。•DEA无效的含义是与其他行业相比，本行业投入的综合评价为1时，最大产出小于1.说明该行业效率较低，需进一步