大学解析几何

100空间解析几何基本知识一、向量1、已知空间中任意两点),,(1111zyxM和),,(2222zyxM，则向量12212121(,,)MMxxyyzz2、已知向量),,(321aaaa、),,(321bbbb，则（1）向量a的模为232221||aaaa（2）),,(332211babababa（3）),,(321aaaa3、向量的内积ba（1）bababa,cos||||（2）332211babababa其中ba,为向量ba,的夹角，且ba,0注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。4、向量的外积ba（遵循右手原则，且aba、bba）321321bbbaaakjiba5、（1）332211//bababababa（2）00332211bababababa二、平面1011、平面的点法式方程已知平面过点),,(000zyxP，且法向量为),,(CBAn，则平面方程为0)()()(000zzCyyBxxA注意：法向量为),,(CBAn垂直于平面2、平面的一般方程0DCzByAx，其中法向量为),,(CBAn3、（1）平面过原点)0,0,0(0CzByAx（2）平面与x轴平行（与yoz面垂直）法向量n垂直于x轴0DCzBy（如果0D，则平面过x轴）平面与y轴平行（与xoz面垂直）法向量n垂直于y轴0DCzAx（如果0D，则平面过y轴）平面与z轴平行（与xoy面垂直）法向量n垂直于z轴0DByAx（如果0D，则平面过z轴）（3）平面与xoy面平行法向量n垂直于xoy面0DCz平面与xoz面平行法向量n垂直于xoz面0DBy平面与yoz面平行法向量n垂直于yoz面0DAx注意：法向量的表示三、直线1、直线的对称式方程过点),,(000zyxP且方向向量为),,(321vvvv直线方程302010vzzvyyvxx注意：方向向量),,(321vvvv和直线平行2、直线的一般方程0022221111DzCyBxADzCyBxA，注意该直线为平面10201111DzCyBxA和02222DzCyBxA的交线3、直线的参数方程tvzztvyytvxx3020104、（1）方向向量),,0(32vvv，直线垂直于x轴（2）方向向量),0,(31vvv，直线垂直于y轴（3）方向向量)0,,(21vvv，直线垂直于z轴5、（1）方向向量),0,0(3vv，直线垂直于xoy面（2）方向向量)0,,0(2vv，直线垂直于xoz面（3）方向向量)0,0,(1vv，直线垂直于yoz面应用一、柱面1、设柱面的准线方程为0),,(0),,(21zyxfzyxf，母线的方向向量),,(321vvvv，求柱面方程方法：在准线上任取一点),,(111zyxM，则过点),,(111zyxM的母线为312111vzzvyyvxx又因为),,(111zyxM在准线上，故0),,(1111zyxf（1）0),,(1112zyxf（2）令tvzzvyyvxx312111（3）由（1）、（2）、（3）消去111,,zyx求出t，再把t代入求出关于zyx,,的方程0),,(zyxF，则该方程为所求柱面方程例1：柱面的准线为2221222222zyxzyx，而母线的方向为1,0,1v，求这柱面方程。解：在柱面的准线上任取一点),,(111zyxM，则过点),,(111zyxM的母线为103101111zzyyxx即tzzyytxx111,,（1）又因为),,(111zyxM在准线上，故1212121zyx（2），222212121zyx（3）由（1）（2）（3）得012222xzzyx2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径方法：在圆柱面上任取一点),,(0000zyxM，过),,(0000zyxM点做一平面垂直于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点),,(1111zyxM，则||10MM为圆柱的半径例2：已知圆柱面的轴为21211zyx，点1M（1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。解：设圆柱面上任取一点),,(0000zyxM，过点),,(0000zyxM且垂直于轴的平面为0)(2)(2)(000zzyyxx轴方程的参数式为tztytx21,21,代入平面方程得922000zyxt故该平面和轴的交点为)94429,94429,922(000000000zyxzyxzyx过点1M（1，-2，1）和轴垂直的平面和轴的交点为)35,31,31(因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得0991818844558222zyyzxzxyzyx注意：也可找圆柱面的准线圆处理例3：求以直线x=y=z为对称轴，半径R=1的圆柱面方程解：在圆柱面上任取一点),,(0000zyxM，过点),,(0000zyxM且垂直于轴的平面为0)()()(000zzyyxx轴方程的参数式为tztytx,,代入平面方程得3000zyxt故该平面和轴的交点为M1)3,3,3(000000000zyxzyxzyx104则10MM的长等于半径R=1故利用距离公式得1)3()3()3(200002000020000zyxzzyxyzyxx即所求方程为9)2()2()2(200020002000zyxzyxzyx二、锥面锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。1、设锥面的准线为0),,(0),,(21zyxfzyxf，顶点为),,(0000zyxM，求锥面方程方法：在准线上任取一点),,(1111zyxM，则过点),,(1111zyxM的母线为010010010zzzzyyyyxxxx（1）又因为),,(111zyxM在准线上，故0),,(1111zyxf（2）0),,(1112zyxf（2）由（1）、（2）、（3）消去111,,zyx求出关于zyx,,的方程0),,(zyxF，则该方程为所求锥面方程例1锥面的顶点在原点，且准线为czbyax12222，求这锥面方程。解：在准线上任取一点),,(1111zyxM，则过点),,(1111zyxM的母线为111zzyyxx又因为),,(111zyxM在准线上，故1221221byax且cz1上面三个方程消去111,,zyx得0222222czbyax2、圆锥面已知圆锥面的顶点),,(0000zyxM，对称轴（或轴）的方向向量为),,(321vvvv，求圆105锥面方程方法：在母线上任取一点),,(zyxM，则过该点的母线的方向向量为),,(000zzyyxxn利用v和n的夹角不变建立关于zyx,,的方程，该方程为所求例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。（2222)(zyxzyx）解：在坐标轴上取三点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(，则过三点的平面为1zyx故对称轴的方向向量为)1,1,1(，一条母线的方向向量为)0,0,1(，则母线和对称轴的夹角为cos13010111，即33cos在母线上任取一点),,(zyxM，则过该点的母线的方向向量为),,(zyxncos3222zyxzyx所以2222)(zyxzyx例3圆锥面的顶点为)3,2,1(，轴垂直于平面0122zyx，母线和轴成030，求圆锥面方程解：在母线上任取一点),,(zyxM，轴的方向向量为)1,2,2(，母线的方向向量为)3,2,1(zyxn则022230cos9)3()2()1()3()2(2)1(2zyxzyx即2222)3(27)2(27)1(27)322(4zyxzyx三、旋转曲面设旋转曲面的母线方程为0),,(0),,(21zyxfzyxf，旋转轴为ZzzYyyXxx000，求旋转曲面方程方法：在母线上任取一点),,(1111zyxM，所以过),,(1111zyxM的纬圆方程201201201202020111)()()()()()(0)()()(zzyyxxzzyyxxzzZyyYxxX又因为),,(1111zyxM在母线上，有0),,(0),,(11121111zyxfzyxf106由上述四个方程消去111,,zyx的方程0),,(zyxF为旋转曲面例4求直线0112zyx绕直线l：zyx旋转一周所得的旋转曲面的方程。解：在母线上任取一点),,(1111zyxM，则过),,(1111zyxM的纬圆方程2121212221110)()()(zyxzyxzzyyxx又因为),,(1111zyxM在母线上，有0112111zyx由上述方程消去111,,zyx的方程得9)1(59992222zyxzyx四、几种特殊的曲面方程1、母线平行于坐标轴的柱面方程设柱面的准线是xoy平面上的曲线00),(zyxf，则柱面方程为0),(yxf设柱面的准线是xoz平面上的曲线00),(yzxg，则柱面方程为0),(zxg设柱面的准线是yoz平面上的曲线00),(xzyh，则柱面方程为0),(zyh注意：（1）母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母（2）准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、双曲线柱面、抛物线柱面例求柱面方程（1）准线是022xzy，母线平行于x轴解：柱面方程为zy22（2）准线是3194222yzyx，母线平行于y轴解：柱面方程为224zx（3）准线是21994222xzyx，母线平行于z轴解：2x2、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面107设母线是00),(zyxf，旋转轴是x轴的旋转曲面为0),(22zyxf；旋转轴是y轴的旋转曲面为0),(22yzxf（同理可写出其它形式的旋转曲面方程）注意：此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。例方程02222xzy是什么曲面，它是由xoy面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的解：xoy面上的022xy绕x轴旋转而成的3、平行于坐标面的平面和曲面0),,(zyxf的交线方程平行于xoy面的平面hz和曲面0),,(zyxf的交线为hzhyxf0),,(平行于xoz面的平面hy和曲面0),,(zyxf的交线为hyzhxf0),,(平行于yoz面的平面hx和曲面0),,(zyxf的交线为hxzyhf0),,(例求曲面和三个坐标面的交线（1）6416222zyx解：06422zyx、0641622yzx、0641622xzy（2）64164222zyx解：注意在yoz面上无交线（3）zyx10922解：在xoy面上交于一点)0,0(五、求投影1、求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关