图形折叠问题

东恩中学莫蓉丹给你一张白纸，你能通过折叠，将左下方的直角准确地三等分吗？BCADEFBCEFHGAD30303030小小的翻折，带来大大的几何道理。在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm,AB＝20cm．点E，F分别为CD，AB的中点，现将这张纸片按图示方式折叠，求EG的长。BCEFHGAD2010203030303031031025练习：将矩形ABCD纸对折,设折痕为EF,再把B点折到折痕线EF上（见图点B′）,若则EB′=____.3ABBAB′GDCEF3232332ABCDFE☞透过现象看本质:折叠轴对称实质轴对称性质：ADEF1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.由折叠可得：1.△AFE≌△ADE2.AE是DF的中垂线图形的翻折是图形的运动形式之一一认识翻折问题二解决翻折问题今天我们要来共同探讨在矩形中的“依点翻折”和“依线翻折”。由特殊图形—矩形，来感受翻折这一图形变换。例1：有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB＝a，BC＝b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？图1图2请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．图1图2P306030（1）解：△BMP是等边三角形．理由如下：由折叠知:AB＝BN,∠ABM＝∠NBM,∠BNM＝∠A＝90°∵EF垂直平分AB∴∠NEB=90°,∴∠ABN＝60°∴∠PBN＝30°又∵∠ABM＝∠NBM＝30°，∠BNM＝∠A＝90°∴∠BPN＝60°,∠MBP＝∠MBN＋∠PBN＝60°∴∠MBP＝∠BMP＝∠BPM＝60°∴△BMP为等边三角形．ANABEB2121（2）在图2中，若AB＝a，BC＝b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？图1图2p000(2),30,3,,,cos30cos30232ABCDBMPBCBPRtBNPBNBAaPBNaaBPbababBMP分析：要在矩形纸片上剪出等边，则解：在中，当时，在矩形上能剪出这样的等边。aba332A/H1,3xy33030230（3）设矩形ABCD的边AB＝2，BC＝4，并建立如图3所示的直角坐标系.设直线BM/为y=kx，当∠M/BC＝60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？上。落在即折叠后，，由翻折可知：轴于作过得到代入，，解：EFAAOHHABHAOAOABAMABMHxHAAkkxyMAMOAABMBCM)13('31'30'2',30'''''.3,)2332('332'230'60')3(练习：如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长分析：法一：设EC=x,则EF=DE=8-x.在Rt△ABF中，AF=AD=10，AB=8，∴BF=6，FC=4由勾股可知：FC2+EC2=EF2解得EC=3(cm)ABCDFE8101064法二：Rt△ABF∽Rt△FCE解得EC=3(cm)FCECABBF3例2：（2007年台州市）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕，且(1)判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；(2)求直线CE与x轴交点P的坐标；43tanEDAP6X8X4X3X5510X5X5XP(16，0)例3.直线分别与x轴、y轴交于B、A两点.把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，再把△BOC以直线BC为轴翻折得△BCE，求点E的坐标.133xy解：A(0，1),B(,0)∴OA＝1，OB＝，∴∠OBA＝30°.∵△ABC和△ABO关于AB成轴对称，∴BC＝BO＝，∠CBA=∠OBA＝30°.∴∠CBO＝60°.过点E作EF⊥x轴于F，如图，则在Rt△EBF中，)23,233(232336060点的坐标为，EEFBFBEOBEBFCBECBOEF练一练：1.2.456060302C’例4.(08湖州)已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．(0)kykx（,3）3k(4,)4k34k43k34KM.E),4,4(),3,3(MxEMkFkE轴于作过解：设易证⊿EMC’∽⊿C’BF)3221,4(82143168116''49'4334'3'''22222FkkkFCBCBFBCkkBCFCECBCEM例5:（07湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．(1)设P(x，0)，E(0，y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值；图1FEPDyxBACOxy4-x3∴y=∴解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE+∠APB=90°又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．POBAOEAP34xyx2114(4)333xxxx(0＜x＜4)即3440234231max2yxxxy时，属于当(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；图2OCABxyDPEF(2)解：由已知，△PAB、△POE均为等腰直角三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．1,0,1643.cabcabc则1,23,21.abc∴y=213122xx图形翻折实际上是轴对称变换，变换前后的对应线段相等、对应角相等。常常与角平分线、中线、线段中垂线、等腰三角形的高相联系。解决翻折的动态几何问题关键是结合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有关知识，全面寻找图形运动过程中的不变量。1.在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为6，两边OA、OC分别落在坐标轴上，点E在射线BC上，且BE=2CE，将△ABE沿直线AE翻转，点B落在点B1处。（1）请在图中作出点B1及翻转后图形.x0CBAy（2）对于图1，若E在BC上，求点B1的坐标。两种情况E0CBAyB1xy0CBAEB1图1图264a6-a46FM13613301，BABCD2.（08山东东营）：将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）C3.将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（）C4.如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（）EDCBADCBAFEDCBAA．4B．6C．8D．10６６４２２C４４图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点经验：1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；3．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；4．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。谢谢大家！