概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案

1第六章参数估计习题6.11．设X1,X2,X3是取自某总体容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值µ的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性昀差？（1）3211613121ˆXXX++=µ；（2）3212313131ˆXXX++=µ；（3）3213326161ˆXXX++=µ．证：因µµµµµ=++=++=613121)(61)(31)(21)ˆ(3211XEXEXEE，µµµµµ=++=++=313131)(31)(31)(31)ˆ(3212XEXEXEE，µµµµµ=++=++=326161)(32)(61)(61)ˆ(3213XEXEXEE，故321ˆ,ˆ,ˆµµµ都是总体均值µ的无偏估计；因2222321136143619141)Var(361)Var(91)Var(41)ˆVar(σσσσµ=++=++=XXX，2222321231919191)Var(91)Var(91)Var(91)ˆVar(σσσσµ=++=++=XXX，222232132194361361)Var(94)Var(361)Var(361)ˆVar(σσσσµ=++=++=XXX，故)ˆVar()ˆVar()ˆVar(312µµµ，即2ˆµ有效性昀好，1ˆµ其次，3ˆµ昀差．2．设X1,X2,…,Xn是来自Exp(λ)的样本，已知X为1/λ的无偏估计，试说明X/1是否为λ的无偏估计．解：因X1,X2,…,Xn相互独立且都服从指数分布Exp(λ)，即都服从伽玛分布Ga(1,λ)，由伽玛分布的可加性知∑==niiXY1服从伽玛分布Ga(n,λ)，密度函数为01e)()(−−ΙΓ=yynnYynypλλ，则λλλλλλλ1)1()(e)(e)(110201−=−Γ⋅Γ=Γ=Γ⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∞+−−∞+−−∫∫nnnnndyynndyynynYnEXEnnynnynn，故X/1不是λ的无偏估计．3．设θˆ是参数θ的无偏估计，且有0)ˆ(Varθ，试证2)ˆ(θ不是θ2的无偏估计．证：因θθ=)ˆ(E，有2222)ˆVar()]ˆ([)ˆVar(])ˆ[(θθθθθθ+=+=EE，故2)ˆ(θ不是θ2的无偏估计．4．设总体X~N(µ,σ2)，X1,…,Xn是来自该总体的一个样本．试确定常数c使∑=+−niiiXXc121)(为σ2的无偏估计．解：因E[(Xi+1−Xi)2]=Var(Xi+1−Xi)+[E(Xi+1−Xi)]2=Var(Xi+1)+Var(Xi)+[E(Xi+1)−E(Xi)]2=2σ2，2则2211211121)1(22)1(])[()(σσ−=⋅−⋅=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∑∑−=+−=+ncncXXEcXXcEniiiniii，故当)1(21−=nc时，21121)(σ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∑−=+niiiXXcE，即∑−=+−1121)(niiiXXc是σ2的无偏估计．5．设X1,X2,…,Xn是来自下列总体中抽取的简单样本，⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤−=.,0;2121,1);(其他θθθxxp证明样本均值X及)(21)()1(nXX+都是θ的无偏估计，问何者更有效？证：因总体⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−21,21~θθUX，有)1,0(~21UXY+−=θ，则21−+=θYX，21)1()1(−+=θYX，21)()(−+=θnnYX，即21)(21)(21)()1()()1(−++=+θnnYYXX，可得θθθ=−+=−+=21)(21)()(YEYEXE，nYnYX121)Var(1)Var()Var(===，因Y的密度函数与分布函数分别为pY(y)=I0y1，⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=.1,1;10,;0,0)(yyyyyFY有Y(1)与Y(n)的密度函数分别为10111)1()()](1[)(−−Ι−=−=ynYnYynypyFnyp，1011)()]([)(−−Ι==ynYnYnnyypyFnyp，且(Y(1),Y(n))的联合密度函数为)()1()()()]()()[1(),()()1(2)1()()()1(1nyynYYnYnYnnypypyFyFnnyyp−Ι−−=102)1()()()1())(1(−Ι−−=nyynnyynn，则11)2()()2()1()(101)1(+=+ΓΓΓ⋅=−⋅=∫−nnnndyynyYEn，1)(101)(+=⋅=∫−nndynyyYEnn，)2)(1(2)3()()3()1()(10122)1(++=+ΓΓΓ⋅=−⋅=∫−nnnnndyynyYEn，2)(10122)(+=⋅=∫−nndynyyYEnn，∫∫∫∫−−−−⋅⋅=−−⋅=1001)1()()()1()(100)1(2)1()()()1()()()1()()()()1())(1()(nnynnnnynnnnnyydnyydydyyynnyydyYYE∫∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅−+−−=−−100)1()(1)1()(01)1()()()1()()()()()(nnynnnynnnndyyyynyyynydy2121)(102)(10)(1)(100)1()()()()(+=+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅−=++∫∫nyndyyyyydynnnnnynnnnn，即)2()1(11)2)(1(2)Var(22)1(++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−++=nnnnnnY，)2()1(12)Var(22)(++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=nnnnnnnYn，3且)2()1(111121),Cov(2)()1(++=+⋅+−+=nnnnnnYYn可得θθ=−++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21)]()([21)(21)()1()()1(nnYEYEXXE，)2)(1(21)2()1(422)],Cov(2)Var()[Var(41)(21Var2)()1()()1()()1(++=+++=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+nnnnnYYYYXXnnn，因θ=)(XE，θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+)(21)()1(nXXE，故X及)(21)()1(nXX+都是θ的无偏估计；因当n1时，)2)(1(21)(21Var121)Var()()1(++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=nnXXnXn，故)(21)()1(nXX+比样本均值X更有效．6．设X1,X2,X3服从均匀分布U(0,θ)，试证)3(34X及4X(1)都是θ的无偏估计量，哪个更有效？解：因总体X的密度函数与分布函数分别为θθΙ=xxp01)(，⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=.,1;0,;0,0)(θθθxxxxxF有X(1)与X(3)的密度函数分别为θθθΙ−=−=xxxpxFxp03221)(3)()](1[3)(，θθΙ==xxxpxFxp032233)()]([3)(，则443223)(3)(043223032)1(θθθθθθθθ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅−⋅=−⋅=∫xxxdxxxXE，43433)(043032)3(θθθθθ=⋅=⋅=∫xdyxxXE，1054233)(3)(205432303222)1(θθθθθθθθ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅−⋅=−⋅=∫xxxdxxxXE，53533)(205303222)3(θθθθθ=⋅=⋅=∫xdyxxXE，即803410)Var(222)1(θθθ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=X，8034353)Var(222)3(θθθ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=X，因θθ=⋅=44)4()1(XE，θθ=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛433434)3(XE，4故4X(1)及)3(34X都是θ的无偏估计；因5380316)4Var(22)1(θθ=⋅=X，1580391634Var22)3(θθ=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛X，有⎟⎠⎞⎜⎝⎛)3()1(34Var)4Var(XX，故)3(34X比4X(1)更有效．7．设从均值为µ，方差为σ20的总体中，分别抽取容量为n1和n2的两独立样本，1X和2X分别是这两个样本的均值．试证，对于任意常数a,b（a+b=1），21XbXaY+=都是µ的无偏估计，并确定常数a,b使Var(Y)达到昀小．解：因µµµµ=+=+=+=)()()()(21babaXbEXaEYE，故Y是µ的无偏估计；因22222121222122221212)1()(Var)(Var)(Varσσσ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+=⋅−+⋅=+=nanannnnnanaXbXaY，令022)(Var222121=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅+=σnannnnYdad，得211nnna+=，且02)(Var2212122⋅+=σnnnnYadd，故当211nnna+=，2121nnnab+=−=时，Var(Y)达到昀小2211σnn+．8．设总体X的均值为µ，方差为σ2，X1,…,Xn是来自该总体的一个样本，T(X1,…,Xn)为µ的任一线性无偏估计量．证明：X与T的相关系数为)Var()Var(TX．证：因T(X1,…,Xn)为µ的任一线性无偏估计量，设∑==niiinXaXXT11),,(L，则µµ===∑∑==niiniiiaXEaTE11)()(，即11=∑=niia，因X1,…,Xn相互独立，当i≠j时，有Cov(Xi,Xj)=0，则nanXXnaXaXnXaXnTXniiniiiiniiiiniiinii2121111),Cov(,1Cov,1Cov),Cov(σσ===⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑∑∑∑=====，因),Cov()Var(1)Var(2TXnXnX===σ，故X与T的相关系数为)Var()Var()Var()Var()Var()Var()Var(),Cov(),Corr(TXTXXTXTXTX===．9．设有k台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σi（i=1,…,k）．用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X1,…,Xk，设仪器都没有系统误差．问a1,…,ak应取何值，方能使∑==kiiiXa1ˆθ成为θ的无偏估计，且方差达到昀小？5解：因θθθ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑∑∑====kiikiikiiikiiiaaxEaxaEE1111)()ˆ(，则当11=∑=kiia时，∑==kiiixa1ˆθ是θ的无偏估计，因∑∑∑=====⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=kiiikiiikiiiaxaxa122121)(VarVar)ˆ(Varσθ，讨论在11=∑=kiia时，∑=kiiia122σ的条件极值，设拉格朗日函数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=∑∑==1),,,(11221kiikiiikaaaaLλσλL，令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=−=∂∂=+=∂∂=+=∂∂∑=,01,02,02122111kiikkkaLaaLaaLλλσλσLLLLL得2212−−++−=kσσλL，2212−−−++=kiiaσσσL，i=1,…,k，故当2212−−−++=kiiaσσσL，i=1,…,k时，∑==kiiixa1ˆθ是θ的无偏估计，且方差达到昀小．10．设X1,X2,…,Xn是来自N(θ,1)的样本，证明g(θ)=|θ|没有无偏估计（提示：利用g(θ)在θ=0处不可导）．证：反证法：假设T=T(X1,X2,…,Xn)是g(θ)=|θ|的任一无偏估计，因∑==niiXnX11是θ的一个充分统计量，即在取定xX=条件下，样本条件分布与参数θ无关，则)|(XTES=与参数θ无关，且S是关于X的函数，||)()()]|([)(θθ====gTEXTEESE，可得)(XSS=是g(θ)=|θ|的无偏估计，因X1,X2,…,Xn是来自N(θ,1)的样本，由正态分布可加性知X服从正态分布⎟⎠⎞⎜⎝⎛nN1,θ，则∫∫∞+∞−+−−∞+∞−−−⋅⋅=⋅=dxxSndxnxSSExnxnnxnθθθ22222)(2e)(eπ2eπ2)()(，因E(S)=|θ|，可知对任意的θ，反常积分∫∞+∞−+−⋅dxxSxnxnθ22e)(收敛，6则由参数θ的任意性以及该反常积分在−∞与+∞两个方向的收敛性知∫∞+∞−⋅⋅+−⋅dxxSxnxn||||22e)(θ收敛，因xnxSxSxn