二次函数综合练习题(含答案)

-1-二次函数综合练习题一、选择题1．（2013江苏苏州，6，3分）已知二次函数y＝x2－3x＋m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是（）．A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3【答案】B．【解析】∵二次函数y＝x2－3x＋m的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴0＝12－3＋m，解得m＝2，∴二次函数为y＝x2－3x＋2．设y＝0，则x2－3x＋2＝0．解得x2＝1，x2＝2，这就是一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根．所以应选B．[来源:@中教网*&^#]【方法指导】考查一元二次方程的根、二次函数图象与x轴交点的关系．当b2－4ac≥0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根．【易错警示】因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选．2．（2013江苏扬州，8，3分）方程0132xx的根可视为函数3xy的图象与函数xy1的图象交点的横坐标，则方程3210xx的实根0x所在的范围是（）．A．4100xB．31410xC．21310xD．1210x[来源:%@中~&教*网]【答案】C．【解析】首先根据题意推断方程x3＋2x－1=0的实根是函数y=x2＋3与xy1的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x3＋2x－1=0的实根x0所在范围．解：依题意得方程x3＋2x－1=0的实根是函数y=x2＋2与xy1的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=14时，y=x2＋2=2116，1yx=4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=13时，y=x2＋2=219，1yx=3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=12时，y=x2＋2=214，1yx=2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；-2-当x=1时，y=x2＋2=3，1yx=1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．所以方程3210xx的实根0x所在的范围是21310x．所以应选C．【方法指导】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．【易错警示】不会得出函数解析式，不会观察图象而出错．3.（2013重庆市(A)，12，4分）一次函数y＝ax＋b（a≠0）、二次函数y＝ax2＋bx和反比例函数y＝kx(k≠0)在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为(－2，0)．则下列结论中，正确的是（）[来~源^@:中教&网%]A．b＝2a＋kB．a＝b＋kC．a＞b＞0D．a＞k＞0【答案】D．【解析】∵一次函数与二次函数的图象交点A的坐标为（－2，0），∴－2a＋b＝0，∴b＝2a．[来^*源:%zzstep.&com@]又∵抛物线开口向上，∴a＞0，则b＞0．而反比例函数图象经过第一、三象限，∴k＞0．∴2a＋k＞2a，即b＜2a＋k．故A选项错误．假设B选项正确，则将b＝2a代入a＝b＋k，得a＝2a＋k，a＝－k．又∵a＞0，∴－k＞0，即k＜0，这与k＞0相矛盾，∴a＝b＋k不成立．故B选项错误．再由a＞0，b＝2a，知a，b两数均是正数，且a＜b，∴b＞a＞0．故C选项错误．[来#源:中教%*&网~]这样，就只有D选项正确．[来源:中#国教^*@育出版网%]【方法指导】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象，属于图象共存型问题．解决这类问题的关键是熟练掌握这三类函数的图象及性质，能根据图象所在象限的位置准确判断出各系数的符号．上面解法运用的是排除法，至于D为何正确，可由二次函数y＝ax2＋bx与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象，知当x＝－2ba＝－22aa＝－1时，y＝－k＞－24ba＝－244aa＝－a，即k＜a．又因为a＞0，k＞0，所以a＞k＞0．【易错警示】二次函数a、b、c的符号的确定与函数图象的关系混淆不清．4.（2013湖南益阳，7，4分）抛物线1)3(22xy的顶点坐标是（）A．(3，1)B．(3，－1)C．(－3，1)D．(－3，－1)【答案】：A【解析】抛物线2()yaxhk的顶点是（h，k）-3-【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶点公式24(,)24bacbaa求顶点坐标。4．（2013•徐州，28，10分）如图，二次函数y＝x2＋bx－的图象与x轴交于点A（－3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：（－3，4）；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；[中*@国&教%育出版~网]（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；（2）PA＝t，OE＝l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；[来%源:中教#~网^&]（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．解答：解：（1）（－3，4）；（2）设PA＝t，OE＝l，由∠DAP＝∠POE＝∠DPE＝90°得△DAP∽△POE，∴，∴l＝－＋＝－（t－）2＋∴当t＝时，l有最大值，即P为AO中点时，OE的最大值为；[来源:*^中国#教~育出版网@]（3）存在．①点P点在y轴左侧时，P点的坐标为（－4，0）由△PAD∽△OEG得OE＝PA＝1，∴OP＝OA＋PA＝4。∵△ADG∽△OEG，∴AG：GO＝AD：OE＝4：1[来源&%:#中国教育出版~网*]-4-∴AG＝＝[来*源%:z#zstep&.co^m]∴重叠部分的面积＝＝②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），此时重叠部分的面积为点评：本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大．[中国教育出版网*~&%@]5．（2013·鞍山，18，2分）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；[来源:中*@教网&#~]（2）根据“利润＝（售价－成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．[来源:~@中国^#教育%出版网]解答：解：（1）由题意，可设y＝kx+b，[w#ww.zzs%~@tep^.com]把（5，30000），（6，20000）代入得：，解得：，-5-所以y与x之间的关系式为：y＝－10000x+80000；[来源*:#中%国~教@育出版网]（2）设利润为W，则W＝（x－4）（－10000x+80000）[＝－10000（x－4）（x－8）＝－10000（x2－12x+32）＝－10000[（x－6）2－4]＝－10000（x－6）2+40000所以当x＝6时，W取得最大值，最大值为40000元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．点评：本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识．6．（2013•东营，24，12分）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为B（0，－1）．[来源^:*&@中~教网](1)求抛物线的解析式；[来源~:*^中国教育%出#版网](2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．(3)在（2）的基础上，设直线x=t（0t10）与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大，并求出最大值．[来源#:^中国教%育出~*版网]分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解．（2）设C点坐标为（x，y），由题意可知090BAC．过点C作CDx轴于点D，连接AB，AC．易证AOBCDA，根据对应线段成比例得出,xy的关系式24yx，再根据点C在抛物线上得2114yxx，联立两个关系式组成方程组，求出,xy的值，再根据点C所在的象限确定点C的坐标。P为BC的中点，取OD中点H，连PH，则PHAO（第24题图）xyB-6-为梯形OBCD的中位线．可得152OHOD，故点H的坐标为（5，0）再根据点P在BC上，可求出直线BC的解析式，求出点P的坐标。[来源:z#@zs%tep.^com*]（3）根据BCNBMNCMNSSS，得11052BCNSMNMN，所以求BCNS的最大值就是求MN的最大值，而M，N两点的横坐标相同，所以MN就等于点N的纵坐标减去点M的纵坐标，从而形成关于MN长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。[来&^%源:中教网@~][中%国教育出版@&网#~]解：(1)∵抛物线的顶点是A(2，0)，设抛物线的解析式为2(2)yax=-．由抛物线过B(0，－1)得41a=-，∴14a=-．……………………2分∴抛物线的解析式为21(2)4yx=--．即2114yxx=-+-．………………………………3分[中国*^教育&#出版网~](2)设C的坐标为(x，y)．[来~源&:中国%教育^*出版网]∵A在以BC为直径的圆上．∴∠BAC=90°．作CD⊥x轴于D，连接AB、AC．∵090BAODAC，090DACDCA∴BAODCA∴△AOB∽△CDA．………………………4分∴OBOAADCD=[w^*]∴OB·CD=OA·AD．即1·y=2(x－2)．∴y=2x－4．∵点C在第四象限．∴24yx=-+………………………………5分[来源:中@国教育出%#~版&网]A（第24(2)答案图）xOyCBPHD-7-由224,114yxyxxì=-+ïí=-+-ïî解得1212102,100xxyy祆==镲眄==镲铑．[来源#*:中~教&%网]∵点C在对称轴右侧的抛物线上．∴点C的坐标为(10，－16)．……………………6分[来源:中~@国教育&*出%版网]∵P为圆心，∴P为BC中点．[来@^&源*:#中教网]取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．∴PH=21(OB+CD)=217．……………………7分∵D(10，0)∴H(5，0)∴P(5，172-)．故点P坐标为(5，172-)．…………………………8分(3)设点N的坐标为2114ttt骣琪-+-琪桫，，直线x=t（0t10）与直线BC交于点M．12BMNSMNtD=?，1(10)2CMNSMNtD=?[来源:m]所以1102BCNBMNCMNSSSMNDDD=+=?………………………9分[来&源:zzs%tep#.@*com]设直线BC的解析式为ykxb=+，直线BC经过B(0，－1)、C(10，－16)[来源:%中*&教网@~]AxOyCBMNx=t（第24(3)答案图）-8-所以1,1016bkbì=-ïí+=-ïî成立，解得：3,21kbì=-ïí