《结构力学》常见问题解析

《结构力学》常见问题解析天津城市建设学院土木工程系力学教研室1目录第2章平面体系的几何组成分析…………………………………2第3章静定梁与静定刚架…………………………………………4第4章三铰拱与悬索结构…………………………………………12第5章静定桁架和组合结构………………………………………15第6章结构的位移计算……………………………………………21第7章力法…………………………………………………………35第8章位移法………………………………………………………57第9章用渐进法计算超静定梁和刚架……………………………66第10章影响线及其应用…………………………………………75第11章最小势能原理……………………………………………84第12章结构矩阵分析……………………………………………87第13章结构的动力计算…………………………………………99第14章结构的稳定计算…………………………………………106第15章梁和刚架的极限荷载……………………………………1112第2章平面体系的几何组成分析2.2解题方法概述及例题分析2.2.1解题技巧1、尽量撤去可以拆除的二元体，使体系简化。2、将体系归并成两刚片或三刚片的结合．以便对照规则1、2进行分析。为此，应尽量在体系内部寻找几何不变的子体系做为一个刚片。3、如上部体系与大地之间为三个链杆联结，则可以去掉三个支撑链秆，只分析上部体系，所得结果即代表整个体系的性质。如与大地的联系多于三个支撑链杆，则不能去去掉任一支撑链杆，而将大地也看作一个刚片与其他刚片一起分析。此时，如果有两根链杆形成的固定铰支座可换成单铰，且将由此联结的杆件作为链杆使用，而链杆的另一端所联结的杆件或几何不变体部分作为刚片，然后应用规则判断即可。4、遇到虚铰在无穷远处情况时，我们利用射影几何学的“平面不同方向所有无穷远点位于—条直线上，而一切有限近点均不在此直线上”的结论进行分析。5、对于不能直接利用规则进行分析的体系，可先作等效变换，然后再分析。等效变换是把和某些约束有相同作用的杆件或刚片等效变换为该约束；把体系中某个内部无多余约束的几何不变部分用另一个无多余约束的几何不变部分替换，并按原情况保持与其余部分的联系。6、几何不变体系的基本组成规则可用于分析常见的大多数体系，对于复杂的体系，有时需要用其他方法比如零载法，但切记，零载法只适用于自由度W=0的体系。2.2.2例题详解本节将通过具体例题详细说明几何组成分析习题解题方法和步骤，并给出一些院校研究生入学考试试题的具体分析。例题2-1试对图2-1所示体系进行几何组成分析。解：为了方便分析首先对结点进行编号，如图2-2。由于与基础只有三根链杆联结，所以可以直接分析上部体系。根据规则三，依次去掉二元体214、235、435，如图2-3。△768可由规则二确定为几何不变体，在此基础依次增加二元体746、458组成几何不变体，而杆56为多余约束。因此，图2-1所示的体系为有一个多余约束的几何不变体系。例题2-2试对图2-4所示体系进行几何组成分析解：首先对结点进行编号，如图2-5。△123为几何不变体，增加二元体243，组成刚片Ⅰ；同理，△678为几何不变体，增加二元体657，组成刚片Ⅱ；基础作为刚片Ⅲ。刚片图2-11图2-22348567图2-3485673Ⅰ与刚片Ⅱ是由平行杆36和45相连，虚铰在无穷远处；刚片Ⅲ与刚片Ⅰ是由铰1相连，刚片Ⅲ与刚片Ⅱ是由铰8相连，铰1与铰8的连线与杆36和45平行，故可认为三铰共线。因此，该体系为瞬变体系。例题2-3对图2-6所示体系进行几何组成分析，并指出是几何可变或几何不变体系。若几何不变体系，体系是否有多余约束。（武汉大学2003年研究生入学考试试题）解：首先对结点进行编号，如图2-7。首先对图2-7（a）进行分析。由于与基础只有三根链杆联结，所以可以直接分析上部体系。铰结△124为几何不变体，在△124上增加杆件23，为多余约束；在此几何不变体上增加二元体245、475组成几何不变体系，而杆件56是在该几何不变体系上增加的多余约束。因此，整个体系为有两个多余约束的几何不变体系。对于图2-7（b），折杆45、56用对应虚线直杆45、56代替，设杆12为刚片Ⅰ，杆23为刚片Ⅱ，基础作为刚片Ⅲ。刚片Ⅲ与刚片Ⅰ是由支撑链杆1和杆件45相连，形成虚铰；刚片Ⅲ与刚片Ⅱ是由支撑链杆3和杆件56相连，形成虚铰；刚片Ⅰ与刚片Ⅱ是由铰2相连，三铰不共线。根据规则二，该体系为几何不变体系，且无多余约束。对于图2-7（c），由于与基础的约束多余三个，故基础作为刚片Ⅰ。按照前面总结方法，联结铰1的杆件14和杆件15作为链杆使用，与其相连的杆件或几何不变体为刚片，则有杆件24为刚片Ⅱ，铰结为△356为刚片Ⅲ。刚片Ⅰ与刚片Ⅱ是由杆14和平行支撑杆1相连，虚铰在无穷远处，刚片Ⅰ与刚片Ⅲ是由杆15和支撑杆3相连，虚铰在杆36的延长线上，而图2-412348567ⅡⅠ图2-5(a)图2-6(b)(c)1(a)图2-6(b)(c)324567142635125643ⅡⅢⅠ4刚片Ⅱ与刚片Ⅲ是由杆45和杆件26相连，虚铰在铰6处。此时，两虚铰的连线与杆14和支撑杆1平行，故三铰共线，该体系为几何瞬变体系。第3章静定梁与静定刚架3.2解题方法概述及例题分析3.2.1多跨静定梁的计算多跨静定梁的组成顺序是先基本部分，后附属部分，最终形成整个结构。而计算多跨静定梁时，我们应该遵循的原则是：先计算附属部分，再计算基本部分，将附属部分的约束力反其指向，就是加于基本部分上的荷载。这样把多跨静定梁拆成单跨梁计算。将各单跨梁的内力图组合在一起就是多跨梁的内力图。下面的例题说明其计算方法。例3-1试计算图3-1(a)所示的多跨静定梁，并且绘出其内力图。[分析]该梁BE段为一伸臂梁，可以独立地承受竖向荷载，可视为基本部分；AB和EG段需依靠基本部分的支承才能承受竖向荷载并保持平衡，所以是附属部分。梁的层次图及隔离体受力图分别如图3-1（b）、（c）所示。解：由附属部分EFG的平衡条件，可求得铰E处的约束力kN07.7EH，kN47.6EV，支座反力kN61.10FV。根据铰E左梁段的平衡条件0X，可得铰B处的水平约束力kN07.7BH和支座A处的水平约束反力kN07.7AH。再由附属部分AB的平衡条件求得铰B处的竖向约束力kN10BV支座A处的竖向约束反力kN10AV。铰B、E两处附属部分与基本部分之间的约束力属于作用力与反作用力，其大小相等且方向相反，如图3-1（c）所示。求得各支座反力及铰B、E处的约束力后，各区段可按单跨静定梁的内力计算方法来绘制内力图。如图3-1（d）、（e）、（f）所示。53.2.2静定平面刚架的计算静定平面刚架按照几何组成方式大致分为三种类型：1.单体刚架（包括悬臂刚架和简支刚架）；2.三铰刚架；3.具有基本——附属关系的刚架。静定刚架的内力计算方法原则上与静定梁相同，通常先求出支座反力，然后逐杆按照“分段、定点、连线”的步骤绘制内力图。在刚架的内力计算中，弯矩图通常绘在杆件的受拉侧，而不注明正负号。其剪力和轴力的正负号的规定与梁相同，剪力图和轴力图可绘制在杆件的任一侧，但必须表明正负号。AABADCEAF(b)10kN/m45º20kN20kN·m10kN10kNVA=10kNVB=10kNHB=7.07kNHA=7.07kN10kN7.07kNVC=41.18kNVD=35.29kN10kN/m7.07kN6.47kNVE=6.47kNVF=10.61kN20kN10kN10kN20kN·mHE=7.07kN(c)图3-1例3-1解答图AABADCEAF20(d)2014.14102045AABADCEAF31.18(e)6.477.07101028.823.54AABADCEAF(f)7.07(a)原结构；(b)层次图；(c)隔离体受力图；(d)M图(kN·m)；(e)Q图(kN)；(f)N图(kN)AABADCEAF2m6m10kN/m2m2m45º20kN(a)2m2m20kN·m2m10kN10kN2m6例3-2试作图3-2(a)所示杆件的内力图。[分析]该刚架为简支刚架，首先以整体为隔离体，求出支座反力，进而绘出内力图。解：1）计算支座反力由0X，得)(kN15AH由0AM，0415248244BV，得)(kN37BV由0BM，0415248244AV，得)(kN5AV校核：048537Y，支座反力计算无误。2)绘制弯矩图选择A、D、C、E、F、B为控制点，计算杆端弯矩值。控制截面的弯矩值等于该截面任意一侧（视结构受力情况而定，以受力简单便于计算为原则）所有外力对截面形心力矩的代数和。AD杆：0ADM，mkN45315＝ADM（右侧受拉）DC杆：mkN15115DCM（左侧受拉），0CDMEF杆：mkN24FEM（上侧受拉），mkN24EFM（上侧受拉）BE杆：0EBBEMM，(c)51537(d)537EC45kN·m24kN·mA8kN/m37kN15kN15kN5kN00DF(e)1mID3mEICHA=15kN8kN/mF24kN·m15kNBA1m4mVA=5kNVB=37kN(a)1615602445(b)图3-2例3-2解答图(a)原结构；(b)弯矩图(kN·m)；(c)剪力图(kN)；(d)轴力图(kN)；(e)I－I截面以上隔离体7DE杆：mkN601545DCDADEMMM（下侧受拉），mkN24024EBEFEDMMM(上侧受拉）根据以上数据作出刚架的弯矩图如图3-2（b）所示。3)绘制剪力图用截面法逐杆计算控制截面的剪力。AD杆：kN15DAADQQ，DC杆：kN15CDDCQQ，EF杆：0FEEFQQ，BE杆：0EBBEQQ，DE杆：kN37kN5EDDEQQ，，根据以上数据作出刚架的剪力图如图3-2（c）所示。剪力图也可利用微分关系，根据弯矩图绘制。4)绘制轴力图。用截面法逐杆计算控制截面的轴力。AD杆：kN5DAADNN，DC杆：0CDDCNN，EF杆：0FEEFNN，BE杆：kN37EBBENN，DE杆：0EDDENN，根据以上数据作出刚架的轴力图如图3-2（d）所示。轴力图也可根据剪力图绘制。5)校核内力图。截取刚架任一部分为隔离体，都应该满足静力平衡条件。例如，作Ⅰ－Ⅰ截面（图3-2（a）），一截面上半部分结构为研究对象如图3-2（e）所示。由043724811524455DM01515X，054837Y，隔离体的内力满足静力平衡条件。在静定刚架中，常常也可以不求或者是少求反力而迅速绘制出弯矩图。例如，悬臂刚架、结构上如果有悬臂部分以及简支梁部分（含两端铰结直杆承受横向荷载），则其弯矩可先绘出；充分利用弯矩图的形状特征（最常用的是直杆无荷载区段的弯矩图为直线，有均布荷载区段为抛物线和铰处弯矩为零），刚结点处的力矩平衡条件，用叠加法作弯矩图；外力与杆轴重合，或支座反力通过杆轴时不产生弯矩；外力与杆轴平行及外力偶产生的弯矩为常数；以及对称性的利用等等，这些都将给绘制弯矩图的工作带来极大的方便。至于剪力图，则可以根据弯矩图，利用平衡条件求得，然后根据剪力图又可以作出轴力图。例3-3试作图3-3(a)所示刚架的弯矩图。8〔分析〕该刚架为简支刚架，由于E、F处为悬臂端，故可不必求支座反力，即可绘出弯矩图。从悬臂端依次求出各控制截面的弯矩值，由微分关系，作出最后的弯矩图。刚架A支座处的水平反力为零。根据刚架的几何尺寸、构造以及荷载的分布情况可知，刚架处于对称的受力状态，此时刚架的M图也一定为正对称图形，如图3-3(b)所示。解：由悬臂端开始得知：0FDECMM，mkN1025DFCEMM，（上侧受拉）由结点平衡得知：mkN10DBCAMM，（外侧受拉）mkN22