2.2.3二次函数的图像与性质(第3课时)新北师大

第二章二次函数y=ax2+c(a≠0)a0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性最值向上向下(0,c)(0,c)y轴y轴当x0时，y随着x的增大而减小。当x0时，y随着x的增大而增大。当x0时,y随着x的增大而增大。当x0时，y随着x的增大而减小。x=0时,y最小=cx=0时,y最大=c抛物线y=ax2+c(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移|c|个单位得到.学习新知我们已经认识了二次函数y=2x2的图象，那么二次函数y=2(x-1)2的图象与y=2x2的图象有什么关系？二次函数y=a(x-h)2的图象与性质画二次函数y=2(x-1)2的图象.(1)完成下表:x-4-3-2-1012342x232188202818322(x-1)25032188202818观察上表，你能发现2(x-1)2与2x2的值有什么关系？(2)在图中画出y=2(x-1)2的图象.32188202818y=2(x-1)2y=2(x-1)2二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?【议一议】y=2(x-1)2小结:二次函数y=2(x-1)2的图象也是抛物线.1.相同点:(1)开口方向相同,开口大小相同.(2)在对称轴的左侧,都是y值随x值的增大而减小;在对称轴的右侧,都是y值随x值的增大而增大.(3)都有最低点,即函数都有最小值.2.不同点:(1)对称轴:y=2x2的图象的对称轴是y轴(或直线x=0),y=2(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1.(2)顶点坐标:y=2x2图象的顶点坐标是(0,0),y=2(x-1)2图象的顶点坐标是(1,0).(3)最值:y=2x2,当x=0时,y最小=0,而y=2(x-1)2,当x=1时,y最小=0.3.图象之间的关系:二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度得到的.类似地，你能发现二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象有什么关系?函数开口方向对称轴顶点坐标增减性最值y=a(x-h)2a0时，开口向上a0时，开口向下直线x=h(h,0)a0:xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小a0:xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大a0，y最小=ha0，y最大=hy=ax2与y=a(x-h)2的图像关系y=a(x-h)2的图像可以看成是由y=ax2的图像整体左右移动得到的，当h0时，向右移动|h|个单位长度，当h0时，向左移动|h|个单位长度。平移规律：左加右减。二次函数y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象的关系.二次函数y=a(x-h)2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值开口大小抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2(a0)y=a(x-h)2(a0)（h，0）（h，0）直线x=h直线x=h在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=h时,最小值为0.当x=h时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：越小,开口越大.越大,开口越小.aa2hxay二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质【想一想】由二次函数y=2x2的图象,你能得到二次函数y=2x2-,y=2(x+3)2,y=2(x+3)2-的图象吗?你是怎样得到的?与同伴进行交流.1212121212(1)将二次函数y=2x2的图象向下平移个单位长度,就得到二次函数y=2x2-的图象.结论(2)将二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度,就得到二次函数y=2(x+3)2的图象.（3)将二次函数y=2x2的图象先向下平移个单位长度,再向左平移3个单位长度(或先向左平移3个单位长度,再向下平移个单位长度),就得到二次函y=2(x+3)2-的图象.1212图示2122yx22(3)yx212(3)2yx总结:一般地,平移二次函数y=ax2的图象便可以得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象.因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质:抛物线y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-h)2+k(a0)顶点坐标对称轴开口方向增减性最值(h,k)(h,k)直线x=h直线x=h向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小当x=h时,y最小=k当x=h时,y最大=k[知识拓展]1.二次函数图象之间的平移规律:“左右平移在括号,上下平移在末梢,左加右减须牢记,上加下减错不了”.简记为“上加下减,左加右减”.2.二次函数的关系式:y=a(x-h)2+k被称之为“顶点式”.函数开口方向对称轴顶点坐标Y的最值增减性在对称轴左侧在对称轴右侧y=ax2a＞0a＜0y=ax2+ca＞0a＜0y=a（x-h）2a＞0a＜0向上Y轴（0，0）最小值是0Y随x的增大而减小Y随x的增大而增大向下Y轴（0，0）最大值是0Y随x的增大而增大Y随x的增大而减小向上Y轴（0，c）最小值是CY随x的增大而减小Y随x的增大而增大向下Y轴（0，c）最大值是CY随x的增大而增大Y随x的增大而减小向上直线x=h（h，0）Y随x的增大而减小最小值是0Y随x的增大而增大向下直线x=h（h，0）最大值是0Y随x的增大而增大Y随x的增大而减小2.抛物线y=ax2+c可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|c|得到.抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.(c0,向上平移;c0向下平移.)(h0,向右平移;h0向左平移.)口诀：左加右减课堂检测1.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象可能是()D2.将抛物线y=x2向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后,所得抛物线的解析式为()A.y=(x+2)2+3B.y=(x-2)2+3C.y=(x+2)2-3D.y=(x-2)2-3B3.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是.(2,5)4.在二次函数y=-2(x-3)2+1中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是.x3