金融经济学(王江)习题解答

金融经济学习题解答王江（初稿，待修改。未经作者许可请勿传阅、拷贝、转载和篡改。)2006年8月第2章基本框架2.1U(c)和V(c)是两个效用函数，c2Rn+，且V(x)=f(U(x))，其中f(¢)是一正单调函数。证明这两个效用函数表示了相同的偏好。解.假设U(c)表示的偏好关系为º，那么8c1;c22RN+有U(c1)¸U(c2),c1ºc2而f(¢)是正单调函数，因而V(c1)=f(U(c1))¸f(U(c2))=V(c2),U(c1)¸U(c2)因此V(c1)¸V(c2),c1ºc2，即V(c)表示的偏好也是º。2.2*在1期，经济有两个可能状态a和b，它们的发生概率相等：ab考虑定义在消费计划c=[c0;c1a;c1b]上的效用函数：U(c)=logc0+1(logc1a+logc1b)2³´U(c)=1c01¡°+211c11a¡°+1c11b¡°1¡°1¡°1¡°U(c)=¡e¡ac0¡21¡e¡ac0+e¡ac0¢证明它们满足：不满足性、连续性和凸性。解.在这里只证明第一个效用函数，可以类似地证明第二、第三个效用函数的性质。(a)先证明不满足性。假设c¸c0，那么有c0¸c00;c1a¸c01a;c1b¸c01b而log(¢)是单调增函数，因此有log(c0)¸log(c00);log(c1a)¸log(c01a);log(c1b)¸log(c01b)因而U(c)¸U(c0)，即cºc0。2第2章基本框架(b)现在证明连续性。令fc(n)g11为R3中一个序列，且limn!1c(n)=c。对于80;9±，当jc0i¡cij·±时我们有jlog(c0i)¡log(ci)j3;i=0;1a;1b；对于±，9N使得当n¸N时，kc(n)¡ck=q±(c0¡c0(n))2+(c1a¡c1(na))2+(c1b¡c1(nb))2因而jU(c(n))¡U(c)j，故limc(n)!cU(c(n))=U(c)。(c)最后证明凸性。假设U(C)U(C0)，那么log(c)+1log(c1a)+1log(c1b)log(c0)+1log(c0)+1log(c0)022021a21b对于8®2(0;1)，U(®C0+(1¡®)C)11000=log(®c0+(1¡®)c0)+log(®c1a+(1¡®)c1a)+log(®c1b+(1¡®)c1b)220101011¸®(log(c0)+log(c1a)+log(c1b))+(1¡®)(log(c0)+log(c1a)+log(c1b))2222=®U(C0)+(1¡®)U(C)U(C0)故凸性成立。2.3U(c)=c¡12ac2是一可能的效用函数，其中c2R+，a是非负的系数。U(c)具有不满足性吗？如果不，那么a取什么值和/或c在什么范围内时U(c)具有不满足性？解.不一定。比如当a=1时，U(12)=38U(1)=12U(3)=¡1:5。U(c)不具有不满足性。当a=0时，U(c)=c具有不满足性；当a0时，当c2[0;a1]时U(c)具有不满足性。2.4考虑一个经济，它在1期有三个可能状态：a，b和c：abc证券市场包括证券1和2，它们具有如下的支付向量：X1=[1;1;1]以及X2=[1;2;3]。它们的价格分别为S1和S2。(a)描述这个经济的支付空间。(b)写出这个经济的市场结构矩阵X。(c)考虑含有µ1单位的证券1和µ2单位的证券2的组合。写出这个组合的支付向量。这个组合的价格是多少？°c王江金融经济学3(d)假设这个市场中总共有K个参与者。每个参与者的禀赋是1单位的证券1和2单位的证券2。这时的市场组合是什么？市场组合的支付向量是什么？市场组合的总价值是多少？(e)写出市场化支付的集合。(f)如果市场不允许卖空。市场化支付的集合是什么？(g)现在引入新的证券3，它的支付向量为X3=[0;0;1]。写出新的市场结构矩阵。在这个市场结构下，市场化支付集合是什么？解.(a)这个经济的支付空间是R3；411513=[X1;X2]；(b)市场结构矩阵为X=2123(c)组合的支付向量为µ1X1+µ2X2=[µ1+µ2;µ1+2µ2;µ1+3µ2]，组合的价格是µ1S1+µ2S2；(d)市场组合是K单位的证券1和2K单位的证券2，组合的支付向量为[3K;5K;7K]，组合的总价值是KS1+2KS2；(e)市场化的支付集合是M=fY2R2:Y=µ1X1+µ2X2;µ1;µ22Rg；(f)这时的市场化支付集合是M+=fY2R2:Y=µ1X1+µ2X2;µ1;µ22R+g；合为341105。131(g)新的市场结构矩阵为X=21203=[X1;X2;X3]，此时的市场化支付集M=fY2R:Y=µ1X1+µ2X2+µ3X3;µ1;µ2;µ32Rg2.5在练习2.4中定义的只存在证券1和2的经济中。考虑一个禀赋为µ1单位的证券1和µ2单位的证券2的参与者。写出他的预算集。解.参与者的预算集是fC2R3+:C=®1X1+®2X2;其中®1S1+®2S2·µ1S1+µ2S2g。2.6在上面的练习中引入练习2.4中定义的证券3，它的价格为S3。这时，参与者的预算集是什么（他在证券3上的禀赋为0）？证明由证券1、2、3构成的预算集包含仅由证券1、2构成的预算集。解.此时参与者的预算集就变成了fC2R3+:C=®1X1+®2X2+®3X3;其中®1S1+®2S2+®3S3·µ1S1+µ2S2+µ3S3g。2.7*考虑一个在1期只有一个可能状态的经济。（在这种情况下不存在不确定性。）参与者1的0期禀赋为100而1期禀赋为1，即他的禀赋向量为[100;1]。他的偏好可金融经济学°c王江4第2章基本框架以表示成如下形式：U(c0;c1)=logc0+½logc1:系数½为反映参与者在当前消费和未来消费之间相对偏好的参数。有一只证券，它的0期价格为1、1期支付为1+rF。这里，rF是利率。(a)如果这个参与者不能在市场上进行交易，那么他的消费计划以及相应的效用Ua是什么？(b)现在假设他可以在市场上进行交易。²他的预算集是什么？以当前消费为单位，他的总财富w是多少？²写出参与者的优化问题。令c0为参与者的当前（即0期）最优消费、s为最优储蓄以及Ub为在最优策略下得到的效用。求解他的最优消费/储蓄选择以及相应的效用。把Ub表示成财富w、利率rF和偏好系数½的函数。²讨论参与者的最优选择如何依赖于利率rF和偏好系数½。给出解释。(c)证明Ub¸Ua。(d)令g为参与者由于能够在证券市场上交易而获得的益处。它的定义为Ub(w¡g)=Ua:计算g。讨论g如何依赖于½？g如何依赖于rF？给出解释。解.(a)如果不能交易，那么参与者只能消费自己的初始禀赋，即c0=100;c1=1;Ua=log(100)+½log(1)=log(100)(b)参与者的预算集是fC2R2+:c0=100¡S;c1=1+S(1+rF);S2Rg，如果以当前消费为单位，他的总财富是w=100+1+1rF。参与者的优化问题就是maxlog(100¡S)+½log(1+S(1+rF))S我们求得最优储蓄S=100½(1+rF)¡1(1+½)(1+rF)最优消费为c0=100(1+rF)+1=1w;c1=½(100(1+rF)+1)=½(1+rF)w(1+½)(1+rF)1+½(1+½)(1+rF)1+½c王江金融经济学°