初三数学圆的经典讲义

1圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线,能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试2一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：3考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。①点在圆外d＞r；②点在圆上d=r；③点在圆内d＜r；【典型例题】例1在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。例2．已知，如图，CD是直径，84EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。MABCDOEBAC4例3⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_________cm。例4在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？例5如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,30CEA，求CD的长．例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为3,2，求BAC的度数．ABDCO·E5【考点速练】1.下列命题中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C．任何一个四边形都有一个外接圆D．等腰三角形的外心一定在它的外部2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个B．2C．3个D．无数个4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个B．2C．3个D．无数个5．下列说法中，正确的个数为（）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆．A．1个B．2个C．3个D．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是()A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长()A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数,则满足条件的点P有()A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有()A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径．（要求保留作图痕迹）BPAOAO6ACBDOP11.如图，已知在ABC中，90A，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长．12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB＝16cm，拱高CD＝4cm，那么拱形的半径是＿＿m。13、△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是＿＿。14、如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有的⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为＿＿。15.思考题如图所示,已知⊙O的半径为10cm，P是直径AB上一点,弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B分别向CD引垂线AE和BF,求AE-BF的值.CBDA·ABDCEPFO7【作业】日期姓名完成时间成绩1、在半径为2的圆中，弦长等于23的弦的弦心距为____2.△ABC的三个顶点在⊙O上,且AB=AC=2,∠BAC=120º,则⊙O的半径=__,BC=___.3．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_________；最长弦长为_______．4.如图,A,B,C三点在⊙O上,且AB是⊙O的直径,半径OD⊥AC,垂足为F,若∠A=30º,OF=3,则OA=______,AC=______,BC=_________.5.如图5,为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB=____6.如图6,⊙O中弦AB⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点.⑴若AB=AC,则四边形OEAD是形;⑵若OD=3,半径5r,则AB=_cm,AC=____cm7.如图7，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=8cm，EB=4cm，∠CEA=30°，则CD的长为_________．(5)(6)(7)DOBCAAEDBOCFADCBO8二．垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤．推论1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤．推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．垂径定理及推论1中的三条可概括为：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1如图AB、CD是⊙O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且CNMAMN．求证：AB=CD．ABDCO·NM9例2已知，不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F。求证：CE=DF．l问题一图1OHFEDCBAl问题一图2OHFEDCBAl问题一图3OHFEDCBA例3如图所示，⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。（1）求证：AE＝BF（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。例4如图，在⊙O内，弦CD与直径AB交成045角，若弦CD交直径AB于点P，且⊙O半径为1，试问：22PDPC是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.OABCDEFmABCDPO。.10【考点速练】1.已知⊙O的半径为2cm，弦AB长cm32，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（）.A．1cmB.2cmC.cm2D.cm3cm3．如图1，⊙O的半径为6cm，AB、CD为两弦，且AB⊥CD，垂足为点E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB的长为（）A．10cmB.8cmC.cm24D.cm284.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（）A．0个B.1个C.2个D.3个5．如图2，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D若AB=4，CD=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A．3:2B.5:2C.5:2D.5:46.等腰三角形腰长为4cm,底角为30,则外接圆直径为（）A．2cmB.4cmC.6cmD.8cm7.如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是.8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m.BPAODCBAADECB·O图1A·OCDB图211ABDCO8009.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，求水的最大深度CD．10.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，以C为圆心，CA为半径作圆交斜边AB于D，则AD的长为。11.已知:如图,在⊙O中,弦AB的长是半径OA的3倍,C为弧AB的中点,AB、OC相交于点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由.12.如图所示，在⊙O中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC、BD交直径MN于E、F.求证：ME=NF.13.（思考题）如图，1o与2o交于点A，B，过A的直线分别交1o，2o于M,N，C为MN的中点，P为21OO的中点，求证：PA=PC.ABCDMCBAO·OABDCEFMNAMNC12【作业】日期姓名完成时间成绩1.已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB，垂足为M。且OM=3cm，则CD=.2．D是半径为5cm的⊙O内的一点，且D0=3cm，则过点D的所有弦中，最小的弦AB=cm.3.若圆的半径为2cm，圆中一条弦长为32cm，则此弦所对应弓形的弓高是.4.已知⊙O的弦AB=2cm,圆心到AB的距离为n,则⊙O的半径R=，⊙O的周长为.⊙O的面积为.5．在⊙O中，弦AB=10cm，C为劣孤AB的中点，OC交AB于D，CD=1cm，则⊙O的半径是.6．⊙O中，AB、CD是弦，且AB∥CD，且AB=8cm，CD=6cm，⊙O的半径为5cm，连接AD、BC，则梯形ABCD的面积等于.7．如图，⊙O的半径为4cm，弦AB、CD交于E点，AC=BC，OF⊥CD于F，OF=2cm，则∠BED=.8．已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为.·AEFBCDO13三．圆周角与圆心角【考点速览】考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg:判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可．Eg:判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由14考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．Eg:如下三图，请证明。考点34.推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．经典例题例1：下图中是圆周角的有.是圆心角的有。①②③④⑤⑥15例2：如图，∠A是⊙O的圆周角，且∠A＝35°,则∠OBC=_____.例3：如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=．例４：如图１，AB是⊙O的直径，点CDE，，都在⊙O上，若CDE∠∠∠，则AB∠∠º．例5：如图2，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，40EOD，则DCF．例6：已知：如图，AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=_______．例7：已知⊙O中，30C，2cmAB，则⊙O的半径为cm．例8已知：如图所示，ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G．求证：BCBGAB2_..._D_C_B_A_OBOCAOABC（例１）ABCDEOEFCDGO例２BOCAA·OBDF1E16考点练习1.如图，已知ACB是⊙O的圆周角，50ACB，则圆心角AOB是（）A．40B.50C.80D.100