一阶常微分方程解法总结

第一章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程：①、形如)()(ygxfdxdy当0)(yg时，得到dxxfygdy)()(，两边积分即可得到结果；当0)(0g时，则0)(xy也是方程的解。例1.1、xydxdy解：当0y时，有xdxydy，两边积分得到)(2ln2为常数CCxy所以)(11212CxeCCeCy为非零常数且0y显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为)(1212为常数CeCyx②、形如0)()()()(dyyQxPdxyNxM当0)()(yNxP时，可有dyyNyQdxxPxM)()()()(，两边积分可得结果；当0)(0yN时，0yy为原方程的解，当0(0）xP时，0xx为原方程的解。例1.2、0)1()1(22dyxydxyx解：当0)1)(1(22yx时，有dxxxdyyy1122两边积分得到)0(ln1ln1ln22CCyx，所以有)0()1)(1(22CCyx；当0)1)(1(22yx时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数CCyx。⑵可化为变量可分离方程的方程：①、形如)(xygdxdy解法：令xyu，则udxxdudy，代入得到)(ugudxdux为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数CCxuf再把u代入得到)(0),,(为常数CCxxyf。②、形如)0(),(abbyaxGdxdy解法：令byaxu，则bduadxdy，代入得到)(1uGbadxdub为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数CCxuf再把u代入得到)(0),,(为常数CCxbyaxf。③、形如)(222111cybxacybxafdxdy解法：01、02211baba，转化为)(byaxGdxdy，下同①；02、02211baba，00222111cybxacybxa的解为),(00yx，令00yyvxxu得到，)()()(22112211uvguvbauvbafvbuavbuafdudv，下同②；还有几类：xyudyxyxgdxxyyf,0)()(xyvxyfdxdyx),(222),(xywxyxfdxdysin,cos,0))(,())(,(ryrxydxxdyyxNydyxdxyxM以上都可以化为变量可分离方程。例2.1、25yxyxdxdy解：令2yxu，则dudxdy，代入得到uudxdu71，有dxudu7所以)(722为常数CCxu，把u代入得到)(7222为常数）（CCxyx。例2.2、1212yxyxdxdy解：由012012yxyx得到3131yx，令3131yvxu，有dudxdvdy，代入得到uvuvvuvududv21222，令uvt，有udttdudv，代入得到ttdudtut212，化简得到，)1(2)1(22221222ttttddttttudu，有)(2)1ln(ln2为常数CCttu，所以有)(1121CeCttCu，，故代入得到)0(,31313131131121CxyxyCx（3）、一阶线性微分方程：一般形式：)()()01xhyxadxdyxa（标准形式：)()(xQyxPdxdy解法：1、直接带公式：))(()()()()()()(CdxxQeedxxQeeCeydxxPdxxPdxxPdxxPdxxP2、积分因子法：])()([)(1)(CdxxQxxxy，dxxPex)()(3、IVP：)()(xQyxPdxdy，00)(yxyxxdssPdssPxxdssPdssPdtetQeyydtetQeytxtxxxxx000000)()(00)()()())((例3、1)1()1(nxxenydxdyx解：化简方程为：nxxeyxndxdy)1(1，则;)1()(,1)(nxxexQxnxP代入公式得到ndxxndxxPxeex-1)()1()(所以，)()()1(])1()1([)1()(为常数CCexCdxxexxxyxnnxnn(4)、恰当方程：形如dyyxNdxyxMdGtsyxGdyyxNdxyxM),(),(..),,(,0),(),(解法：先判断是否是恰当方程：如果有xyxNyyxM),(),(恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个),(),(),,(),(.),,(yxNyyxGyXMxyxGtsyxG,有)(,),(为常数CCyxG；例4、0)46()63(3222dyyyxdxxyx解：由题意得到，322246),(,63),(yyxyxNxyxyxM由xNxyyM12得到，原方程是一个恰当方程；下面求一个),(),(),,(),(.),,(yxNyyxGyXMxyxGtsyxG由2263),(),(xyxyXMxyxG得)(3),(223yyxxyxG，两边对y求偏导得到32246)(6yyxyyxyG，得到34)(yy，有4)(yy，故42233),(yyxxyxG，由0dG，得到)(,34223为常数CCyyxx(5)、积分因子法：方程是一个恰当方程0..),,(,0),(),(NdyMdxtsyxdyyxNdxyxM，那么称),(yx是原方程的积分因子；积分因子不唯一。①当且仅当)(xNxNyM，原方程有只与x有关的积分因子，且为dxxeyx)(),(，两边同乘以),(yx，化为恰当方程，下同(4)。②当且仅当)(yMxNyM，原方程有只与y有关的积分因子，且为dyyeyx)(),(，两边同乘以),(yx，化为恰当方程，下同(4)。例5.1、02)3(2xydydxyex解：由xyyxNyeyxMx2),(,3),(2得yyyxNyM426，且有xxNxNyM2)(，有22),(xeyxdxx，原方程两边同乘2x，得到,02)3(322ydyxdxyexx化为0))22((232yxexxdx，得到解为)(,)22(232为常数CCyxexxx例5.2、0)(3dyyxydx解:由题意得到，)(),(,),(3yxyxNyyxM，有2)1(1xNyM有yyMxNyM2)(，有22)(),(yeeyxdyydyy，原方程两边同乘2y，得到0)2()(22yyxddyyyxydx，得到原方程的解为：)(,22为常数CCyyx(6)、贝努力方程：形如nyxQyxPdxdy)()(,解法：令nyu1，有dyyndun)1(，代入得到)()1()()1(xQnuxPndxdu，下同（3）例6、26xyxydxdy解：令1yu，有dyydu2，代入得到xuxdxdu6，则xxQxxP)(,6)(，有6)()(xexdxxP，)(,8][)(6266为常数CxCxCxdxxxxu，把u代入得到)(,8162为常数CxCxy.(7)、一阶隐式微分方程：一般形式：0),,(yyxF，解不出y的称为一阶隐式微分方程。下面介绍四种类型：),()1(yxfy),()2(yyfx0),()3(yxF0),()4(yyF①、形如),(dxdyxfy，一般解法：令dxdyp，代入得到),(pxfy，两边对x求导得到dxdppfxfp，这是关于x，p的一阶线性微分方程，仿照(3)，1、得出解为为常数CCxp),,(，那么原方程的通解为为常数CCxxfy)),,(,(2、得出解为为常数CCpx),,(，那么原方程的通解为为常数CpCpfyCpx,)),,((),(3、得出解为为常数CCpx,0),,(，那么原方程的通解为为常数CpxfyCpx,),(0),,(②、形如),(dxdyyfx一般解法：令dxdyp，代入有),(pyfx，两边对y求导，得到dydppfyfp1，此方程是一阶微分方程，可以按照以上(1)—(5)求出通解为常数CCpy,0),,(，那么原方程的通解为为常数CpyfxCpy,),(0),,(③、形如0),(yxF一般解法：设)(,)()(为参数ttytx，dtttdxydy)()(，两边积分得到为常数CCdttty,)()(，于是有原方程的通解为为常数CtxCdttty,)()()(④、形如0),(yyF一般解法：设)(,)()(为参数ttyty，由关系式dxydy得dxtdtt)()(，有dtttdx)()(，两边积分得到为常数，CCdtttx)()(，于是有为常数，CtyCdtttx)()()(例7.1yyx13解：令yp，得到31ppx，两边对y求导，得到dydppppp))1(31(143，有dpppdy)32(32，得到为常数CCppy,2322，于是通解为为常数，CCppyppx232321例7.2yeyy2解：令yp，得到pepy2，两边对x求导，得到dxdpepppp)2(2，有dpepdxp)2(，两边积分得到为常数CCepxp,)1(，于是通解为为常数CepyCepxpp,)1(2例7.3122yx解：设,sincostytx有dttdtttdxydy212cos)sin(sin，所以为常数CCtty,242sin于是通解为为常数CtxCtty,cos242sin例7.41)1(22yy解：设,cos1sintyty有)tan(cossin1cossin22tdtdtdttttydydx，所以为常数CCtx,tan于是通解为为常数CtyCtx,cos1tan(8)、里卡蒂方程：一般形式：)()()(2xRyxQyxPdxdy一般解法：先找出一个特解)(0xy，那么令zyy10，有dxdzzdxdydxdy201，代入原方程得到)()1)(()1)((102020xRzyxQzyxPdxdzzdxdy，化简得到0)())()(2(0xPzxQyxPdxdz，为一阶线性微分方程，解出为常数CCxxz),,()(那么原方程的通解为为常数CCxyy,),(10例80)2(22xyyx解：我们可以找到一个特解xy10，验证：201xy，代入满足原方程。令zxy11，dxdzzxy2211，代入有0)2)11(()11(2222zxxdxdzzxx，化简得到，12zxdxdz，所以有为常数CxCxCdxeexzdxxdxx,3][1)(222所以原方程的解为为常数CxCxxy,3112或xy1