2017年--高二年级立体几何垂直证明题常见模型和方法

.WORD格式整理....专业知识分享..立体几何垂直证明题常见模型及方法垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1）共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下几种模型）○1等腰（等边）三角形中的中线○2菱形（正方形）的对角线互相垂直○3勾股定理中的三角形○41:1:2的直角梯形中○5利用相似或全等证明直角。例：在正方体1111ABCDABCD中，O为底面ABCD的中心，E为1CC,求证：1AOOE（2）异面垂直（利用线面垂直来证明，高考中的意图）例1在正四面体ABCD中，求证ACBD变式1如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形，已知60,22,2,2,3PABPDPAADAB．证明：ADPB；变式2如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED,△DCF分别沿,DEDF折起，使,AC两点重合于'A.求证:'ADEF；类型二：线面垂直证明BE'ADFG.WORD格式整理....专业知识分享..PCBADE方法○1利用线面垂直的判断定理例2：在正方体1111ABCDABCD中，O为底面ABCD的中心，E为1CC,求证：1AOBDE平面变式1：在正方体1111ABCDABCD中，,求证：11ACBDC平面变式2：如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=3.求证：CD⊥平面A1ABB1；变式3：如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD求证：AO平面BCD；变式4如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC∥，90ABC°，PA平面ABCD．3PA，2AD，23AB，6BC1求证：BD平面PACDACOBE.WORD格式整理....专业知识分享..○2利用面面垂直的性质定理例3：在三棱锥P-ABC中，PAABC底面,PACPBC面面，BCPAC求证：面。方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式1,在四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且PABABCD面底面,求证：BCPAB面变式2：类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)例1如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，2ADDEAB，F为CD的中点.(1)求证：//AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；例2如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，60ABADACCDABC，，°，PAABBC，E是PC的中点．（1）证明CDAE；（2）证明PD平面ABE；ABCDEFABCDPE.WORD格式整理....专业知识分享..变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，60ABC，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2．（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；举一反三1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：①MbMaba//②baMbMa//③baMab∥M④baMa//b⊥M.其中正确的命题是()A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.下列命题中正确的是()A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有()A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是()A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直第3题图.WORD格式整理....专业知识分享..C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为()A.1B.2C.552D.5537.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.38.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是()A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合C.α与β必相交且交线m与d一定不平行D.α与β不一定相交9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题．．．的序号是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中正确的命题是()A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②二、思维激活11.如图所示，△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，如果△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝5cm，CC′＝4cm，则△A′B′C′的面积是.第11题图第12题图第13题图.WORD格式整理....专业知识分享..12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如图所示，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.(1)求证:VC⊥AB;(2)若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC所成角的大小.15.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝15，PD＝3.(1)求证：BD⊥平面PAD.(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．第14题图第15题图第16题图.WORD格式整理....专业知识分享..18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.(3)求点C到平面D′MB的距离.第4课线面垂直习题解答1.A两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C由线面垂直的性质定理可知.3.A折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF.4.D过a上任一点作直线b′∥b,则a，b′确定的平面与直线b平行.5.A,m⊥γ且mα,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有lγ,而m⊥γ则l⊥m,故选A.6.DP作PD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB，AB=522BCAC，52ABBCACCD，∴PD=55354122CDPC.7.D由定理及性质知三个命题均正确.8.A显然α与β不平行.9.D垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B∵α∥β，l⊥α，∴l⊥m第18题图.WORD格式整理....专业知识分享..11.23cm2设正三角A′B′C′的边长为a.∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB２=a2+4，又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．S△A′B′C′=23432acm2．12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC⊥VA，VC⊥AB.由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB.14.(1)证明:∵H为△VBC的垂心,∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC.(2)解:由(1)知VC⊥AB,VC⊥BE,∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC,∴AB⊥面DEC.∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角，∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD,∴VC在底面ABC上的射影为CD.∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE,∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,∴VC与面ABC所成角为60°.15.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN，则有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝21CD＝21AB＝AM，故AMNE为平行四边形.∴MN∥AE.∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD∥AB，∴MN⊥CD.(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.又∠PDA＝45°，E为PD的中点.∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD.16.如图(1)证：由已知AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°，故BD2＝AD2+AB2-2AD·ABcos60°＝4+16-2×2×4×21＝12.又AB2＝AD2+BD2，∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，第15题图解第16题图解.WORD格式整理....专业知识分享..即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝3，PB＝15，BD＝12，∴PB2＝PD2+BD2，故得PD⊥BD.又PD∩AD＝D，∴BD⊥平面PAD.(2)由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD.∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角.∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝23233.作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BF，∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.又EF＝BD＝12，在Rt△PEF中，tan∠PFE＝433223EFPE.故二面角P—BC—A的大小为arctan43.17.连结AC1，∵11112263ACCCMCAC.∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∴∠AC1C=∠MA1C1，∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°.∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥B1