等差数列知识点汇总

按照一定的次序排列的一列数叫数列。数列(Sequencesofnumbers)的定义序号1234…n…项a1a2a3a4…an…一个数列一旦给定，每个序号都唯一确定地对应着数列中的一项，即因此，数列的项是序号的函数（序号是自变量，项是函数值），序号从1开始依次增加时，对应的函数值按次序排出就是数列，这就是数列的实质。数列的本质数列的图像是离散的点。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，等差数列(arithmeticsequences)的定义这个常数叫做该等差数列的公差(commondifference)，通常用“d”表示.等差中项如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.即或bAa,,A2baAbabaA2等差数列的递推公式等差数列的定义式12nnaadn1aa等差数列的通项公式),2(*1Nnndaann*11(2,)naandnnN有穷数列用定义式判断或证明一个数列为等差数列：无穷数列根据等差数列的定义式或通项公式可以证明等差数列的如下性质：性质1an=aq+(n-q)dpqaadpq推广的等差数列通项公式性质2更一般地，对于等差数列{an}，若p+q=m+n，则ap+aq=am+an（p、q、m、n均为正整数）“若下标和相等，则对应项的和相等”nnpn-q*{a}atns,{a}1t,s,p,qp,qN,qnp已知数列的通项公式为则数列为常数，是等差数列。从等差数列的某一项开始，每间隔相同数目的项抽取出来的项按照原来的顺序仍排成等差数列。性质3nnnnnn{a}{b}cab,,{c}pqpq已知数列与都是等差数列。且为常数则数列是等差数列。几个等差数列的线性组合仍为等差数列性质4n{a}m02m1004m等差数列的前项和为，前项和为-，求它的前项的和。n{a}501010020等差数列的前项和为，前项和为-，求它的前项的和。232S,SS,SSkkkkk对于等差数列，……仍成等差数列。3.练习.性质5等差数列的前n项和公式11321nnnaaaaaS设21221aaaaaSnnnn)(2:21123121aaaaaaaaSnnnnn123121aaaaaaaannnn)(21nnaanS2)(1nnaanS由此得：共n个括号等差数列的前n项和公式的推导倒序相加Sn=2)(1naanSn=dnnna2)1(1用an=a1+(n-1)d代入上式等差数列前项和公式n以上为等差数列及其前n项和的基本内容进一步地，从函数的观点来看等差数列：nnaapnqpq数列为等差数列、为常数2nnaSanbnab数列为等差数列、为常数例已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求其前n项和的公式。122019020310451011dada641dannnnnSn2362)1(4解：设该数列的首项为a1，公差为d，依题意有另解：设Sn=an2+bn则10010310400201220abab31ab23nSnn从函数的观点来看等差数列：nnaapnqpq数列为等差数列、为常数2nnaSanbnab数列为等差数列、为常数2nnSanbnaba、为常数数列为等差数列?例一般地，2nnnn{a}nSn2n.(1){a}2{a}已知数列的前项和为求数列的通项公式。（）求证：是等差数列。2nnSanbnaba、为常数数列为等差数列.2nnaSanbnab数列为等差数列、为常数例变式一般地，2nnn{a}nSn2n+1,{a}已知数列的前项和为则是怎样的数列？20nnSanbncabca、为常数,数列从第二项开始为等差数列.2nnanSanbncabc若数列的前项和、、为常数00nncaca则当时，数列为等差数列.当时，数列从第二项开始为等差数列.nn*11Sa,(2,)nnnaSSannN1与的关系:S求通项公式。项的和为的前练习：已知数列,n1nSn}a{nn等差数列综合习题2167n286已知一个等差数列的前四项和为，末四项和为，前项和为，求项数。1.n1n{a}a2,20S已知数列是等差数列，且它的前五项和为，求2121nnSna2.n27nn//nn{a}a70,a30,nS,{a}nS,S等差数列中，前项和为数列的前项和为求解：先求得nanS868n2824nn,nnba设则868,110886,10nnnbnn