1-2河南科技大学线性代数

二、行列式按行（列）展开法则定理1.1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即11221,2,,iiiiininDaAaAaAin推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,.ijijinjnaAaAaAij111213212223AAaaaA212223313232122233aaaaaaaaa分析我们以3阶行列式为例.111213111112121313212223313233aaaaAaAaAaaaaaa把第1行的元素换成第2行的对应元素，则0.定理1.1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即11221,2,,iiiiininaAaAaADin推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220,.ijijinjnaAaAaAij1122,0,niinijjjDijaAaAaAij1122,0,ijijinjnDijaAaAaAij综上所述，有同理可得例１2101044614753124025973313211D二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．ijrkr32101044614753124025973313211D3解2101044614753124022010013211312rr21010446147531402020100132112101044614753124022010013211312rr23122rr442rr22200201001402035120132112220035120140202010013211144rr133rr222000100021100351201321134rr222002010021100351201321123rr26000001000211003512013211612454rr.126400001000211003512013211352rr4例2计算阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD解abbbnababbnabbabnabbbbna1111D将第列都加到第一列得n,,3,211(1)11bbbabbanbbabbba1(1)bbbabanbabab001(1)().nanbab5312017252023100414002350D例计算行列式解5312017252023100414002350D25531202311204140235231100720667210(2)6620(4212)1080.231254142355320414013202135215231rr21(2)rr§6克拉默法则二元线性方程组11112212112222axaxbaxaxb若令11122122aaDaa1211222bbaDa1221121baDab(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDbaabxaaaa1121212211221221abbaDxaaaaD一、克拉默法则如果线性方程组11112211211222221122(1)nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb的系数行列式不等于零，即1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa122123,,,,.(2)nnDDDDxxxxDDDD其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即jDDjn111,11,111,1,11jjnjnnjnjnnnaaaaDaaaabb那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成定理中包含着三个结论：•方程组有解；（解的存在性）•解是唯一的；（解的唯一性）•解可以由公式(2)给出.该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论.例解线性方程组12341242341234258,369,225,4760.xxxxxxxxxxxxxx解2151130602121476D122rr42rr07513130602120771275132127712122cc322cc3530107721815193065212047681D22851190605121076=108D2703218113960252140627D4215813090215147027D11813,27DxD221084,27DxD33271,27DxD44271.27DxD关于克拉默法则的等价命题定理1.2如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.定理1.2′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.设11112211211222221122(1)nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb线性方程组常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则，若常数项不全为零称为非齐次线性方程组.11112211211222221122nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb将克拉默法则的结论应用于齐次线性方程组显然齐次线性方程组一定有零解，那我们关心的是它有无非零解的问题。齐次线性方程组的相关定理定理1.3如果齐次线性方程组的系数行列式，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.0D定理1.3′如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.备注1.这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件.2.在第三章还将证明这个条件也是充分的.即：齐次线性方程组有非零解系数行列式等于零练习题：问取何值时，齐次方程组1231231231240,230,10,xxxxxxxxx有非零解？解124231(2)(3)111D如果齐次方程组有非零解，则必有.0D所以时齐次方程组有非零解.023、、