微积分知识整理

1第一章极限与连续一、函数1、函数的定义与要素（定义域、对应法则；函数相等的条件）2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性*单调性的定义（以递增为例）：上严格单调递增。在改为＜，则上单调递增；将在，则时＜，若fffDxfDxfxfxfxxDxx)()()()(,212121*有界的定义：上有界。在，则，都有，对于＞AxfMxfDAxMf)(|)(|0（f(x)≥m∈R，则f(x)下有界；反之则上有界。只有既上有界又下有界的函数才是有界函数。）3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数*题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。*反函数存在的可能情况：①y与x一一对应；②f(x)是某区间上的严格单调函数（反函数的单调性与原来的函数相同）*。时，；当时，；当xxffRxxxffDxRDffff))(())((1114、初等函数：包括6大基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。二、数列的极限1、数列的定义及表示方法2、数列的性质：单调性、有界性3、数列极限的定义：ε-N语言（存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对N的限制，从而找到N；绝对值不等式与不等式放缩也很重要）4、极限的四则运算5、无穷小量的性质（1）是无穷小量。，则若}{limAaAannn（一种证明极限的方法）（2）有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。（3）无穷小量乘以有界量还是无穷小量。6、收敛数列的性质（1）收敛数列必然有界（2）收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。（☆逆否命题：如果一个数列有发散子列或是有两个极限不同的收敛子列，则该数列发散。）（3）夹逼性（注意夹条件与逼条件）（4）*保号性：.00lim＞时，＞，当，则必然存在＞若nnnaNnNAa（小于0类似）7、无穷大量的两个定义：高等数学A知识整理2。＞时，＞，当，＞）（为无穷大量；为无穷小量，则）若（KaNnNKaannn||02}{}1{18、数列收敛的判定方法与极限的求解（1）利用极限的定义（先知道极限才能使用，技巧性略强）（2）单调有界数列必收敛（不能同时求出极限，往往用于递推式）（3）利用子列的收敛性（可以直接得出极限，逆否命题常用于判断发散）（4）柯西收敛准则（不能同时求出极限，往往用于求和式）（5）Stolz定理：。，则，而严格单调递增且若AbaAbbaabbnnnnnnnnnnnlimlimlim}{11（可以同时求出极限，常常用于比值形式的式子）（6）递推式求极限：不动点法——。，则，且)(lim)(1AfAAaafannnn（7）平均值法：。，则若AnaaaAannnn...limlim21（8）利用定积分的定义求极限。需要配凑Riemann和的形式。9、几个重要数列的极限....)...(lim},...,,max{)...(lim5100lim4!lim31lim21lim01211121121121kknnknnnknnknnnnknnnnnnnaaakaaaaaakaaaakannnaa；）（为常数；＞，，其中）（；）（；）（；时，＞）（10、数列极限型函数的表达式：。),(lim)(xngxfn处理方式：对x分类讨论，在各种情况下将x视为常数，对n求极限。.数。最终结果要写成分段函。时，＜＜③当；时，②当；时，＞①当。。求，例如：11010121lim)(1032)(1211211lim)(1)(121lim)(nnnnnnnnnxxxfxxfxxxxfxxfRxxxxf3三、函数的极限1、函数极限的定义：ε-δ语言（某点x0处）、ε-M语言（x→∞时）。2、数列极限与函数极限的关系：Heine定理）可以是。（，有满足对任一数列aAxfaxxAxfnnnnnax)(limlim}{)(lim逆否命题：。不都存在或者与且，，满足存在两个数列不存在)(lim)(lim)(lim)(limlimlim}{},{)(limnnnnnnnnnnnnnnaxyfxfyfxfayxyxxf3、极限的性质：（1）四则运算、连续函数极限的复合运算；（2）夹逼性；（3）*保号性；（4）（函数）局部有界性：有界。的一个邻域内，，则在若)()(limxfaAxfax（5）有序性：。（反过来未必成立）的一个邻域内成立，则）在（或者＜若)(lim)(lim)()(xgxfaxgxfaxax4、两个重要极限：。；exxxxxxxxx100)1(lim)11(lim1sinlim（x也可以是中间变量）（求极限时注意配凑出这两个极限）5、单侧极限（可以用来判断某点极限是否存在）四、连续函数1、连续的定义：。)()(lim00xfxfxx（左连续、右连续）2、连续的三个必要条件：。存在，处有定义，在)()(lim)(lim)(0000xfxfxfxxfxxxx3、连续性在四则运算、复合运算、反函数中的保持。4、间断点（可去、跳跃间断点为第一类，其余为第二类）（1）无穷间断点：f(x)在此点无定义并且趋向于∞。（2）*振荡间断点：函数值在此点附近无限快地振荡，处。在如01sin)(xxxf（3）可去间断点：对这一个点的函数值进行补充定义或调整，可以使函数在此点连续，即不存在。，或存在但不等于)()()(lim000xfxfxfxx（4）跳跃间断点：存在但不相等。与)(lim)(lim00xfxfxxxx5、一切初等函数在其定义域内均连续。6、闭区间上连续函数的性质（1）有界；（2）存在最大值和最小值；（3）介值定理；（4）零点存在性定理。7、连续型无穷小的比较4（1）x→0时，；，则＜＜若)(0xx（2）x→+∞时，。，则＜＜＜若)(10xxbaba（3）).ln1(10lnlim0xxxxxpppx时有，即，有对任意（4）等价无穷小替换：。，，，，时，xxxxenxxxxxxxxxxxnarctan~~arcsin,~1~112~cos1~)1ln(tan~~sin02注：等价无穷小替换只有在乘除运算中才可以随意使用，同号无穷小相减，可能会产生x的高阶无穷小。8、函数图像的渐近线：垂直渐近线x=x0。斜（水平）渐近线y=ax+b。其中。，])([lim)(limaxxfbxxfaxx注意x→+∞与x→-∞的情况可能不一样。第二章导数与微分一、导数1、导数的定义（不能忽视，也是求导的常用方法）：.)()(lim)()(lim)('0xxafxafaxafxfafax（如果f(a)=0或者a=0，注意分子分母可能需要补0）（注意左导数、右导数的概念）2、可导必定连续，连续未必可导。3、导数的四则运算（略）注意'.......'......')'...(21212121nnnnffffffffffff4、复合函数的导数：[f(g(x))]’=f’(g(x))g’(x)。（链式法则）5、.)('1)]'([0)(')(),(001000xfyfxfxfyyx，则可导且处，反函数的导数：若在点6、初等函数的导数公式5.11ln21arth),1ln(arch),1ln(arsh,th,2ch,2sh22xxxxxxxxxeeeexeexeexxxxxxxxx其中，7、对数求导法)].(')()()(ln)('[)()(')(')()()(ln)(')()(')(ln)()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxuxuxvxuxvxfxfxuxvxfxuxfxvxv8、几个重要的高阶导数)(.1,0,)1)...(1()(!)1()1()!1()1()(ln)2cos()(cos)2sin()(sin{)(1)(1)()()(Nkknknxnkkkxxnxxnxnxxnxxnknknnnnnnnn9、高阶导数的莱布尼茨公式：).()()]()([)()(0)(xgxfCxgxfininiinn二、微分1、微分的实质：).(d)(')('d000xyxxfxxfyx处，在可微的2、对于一元函数，可微等价于可导。3、微分的四则运算（略）4、复合函数的微分——一阶微分形式不变性（Pfaffform）：.ddddddxuuyxy5、参数方程的微分：.dd)dd(dddddddddd22txxytxytxtyxy，6、近似计算：.)(')()(000xxfxfxxf*7、误差估计：，，相对误差，则绝对误差，近似值精确值||||000xxxxxxx6.|)()('||)('|)(||*000*00*xyxyxxxxfxfxxfxfyxx，，则。若，相对误差限上界为绝对误差限三、微分学中值定理及其应用1、一切的大前提：f(x)、g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导。（证明时要给出这两个条件！）2、Fermat引理：可导极值点处导数等于0。3、Rolle中值定理：.0)('),()()(fbabfaf使得存在4、Lagrange中值定理：.)()()('),(abafbffba使得存在→推论：（1）f’(x)=0，则f(x)=C。（2）f’(x)=g’(x)，则f(x)=g(x)+C。5、Cauchy中值定理：.)(')(')()()()(),(gfagbgafbfba使得存在6、使用中值定理的注意点：（1）要有运用中值定理的意识，将其当成做题时考虑的对象之一；（2）学会在高阶导数情况下多次运用中值定理；中值定理求解。），运用（如的式子时要构造）在遇到例如（Cauchy)(2)('32xxgf（4）补0是常用方法；☆（5）构造函数很重要，要熟悉一些常见的变形：做积分）造，实质是对这些式子要有意识地尝试这些构（在看到相关的式子时）（；）（；）（）（；）（.))]'(')(([)('')(')(')()('')(5|]')(|[ln)()('4]')([)()('3;)]'([)(')(2)]'([)()('11xxxxxxnnexfxfexfxfxfxfxfxfxfxfxfexfexfxfexfexfxfxxfxxnfxxf7、。或归到等情况，但最终都应回，，，，法则：用于000,1-00HospitalL'00而且，此法则不是万能的。8、余项）（公式：Peano].)[()(!)()(Taylor0000)(nknkkxxxxkxfxf7（只需知道前几项）。)(1523tan);0)(()1(...32)1ln();(!)1)...(1(...!2)1(1)1(5531322xxxxxxnxxxxxxxnnxxxnnnnn*Taylor展开对一切中间变量u都成立，即对于在a处连续的函数g(x)，有].))()([())()((!))(())((0)(niniiagxgagxgiagfxgf*Taylor展开的应用：近似计算、求极限、证明一些与高阶导数有关的结论……★在此总结一下求函数极限的一些方法：型式子时几乎万能）量的项都出现。在处理开到所有能产生该阶小，一定要展（在确定式子阶数之后开的项数以配凑次数。展开：可以自行选择展）（能使用；，注意不是不定型的不简单或可以计算时使用法则：求导之后会变得）（的情况）；必须转化为某变量