fortran产生随机数方法介绍

fortran产生随机数方法介绍（附代码）注意：现在计算机产生的随机数都是伪随机数。1.0-1之间均匀分布的随机数random_number(x)产生一个0到1之间的随机数（x可以是向量），但是每次总是那几个数。用了random_seed()后，系统根据日期和时间随机地提供种子，使得随机数更随机了。programrandomimplicitnonereal::xcallrandom_seed()!系统根据日期和时间随机地提供种子callrandom_number(x)!每次的随机数就都不一样了write(*,*)xstopendprogramrandom2.任意区间均匀分布的随机数functionmy_random(lbound,ubound)implicitnonereal::lbound,uboundreal::lenreal::my_randomreal::tlen=ubound-lbound!计算范围大小callrandom_number(t)!t是0-1之间的随机数my_random=lbound+len*treturnend注意：在循环外callrandom_seed()3.产生一个随机数数组，只需加一个循环即可functionmy_random(lbound,ubound)implicitnonereal::lbound,uboundreal::lenintegersizereal::my_random(size)!size代表数组元素的个数real::tintegerilen=ubound-lbound!计算范围大小doi=1,10callrandom_number(t)!t是0-1之间的随机数my_random(i)=lbound+len*t!把t转换成lbound-ubound间的随机数enddoreturnend注意：同理在循环外callrandom_seed()4.标准正态分布随机数/高斯分布随机数(1)徐士良的那本程序集里介绍了正态分布随机数产生的原理，不过他的方法只能产生较为简单的随机数，随机数的质量并不高，特别是随机数的数目较多时。(2)Box和Muller在1958年给出了由均匀分布的随机变量生成正态分布的随机变量的算法。设U1,U2是区间(0,1)上均匀分布的随机变量，且相互独立。令X1=sqrt(-2*log(U1))*cos(2*PI*U2);X2=sqrt(-2*log(U1))*sin(2*PI*U2);那么X1,X2服从N(0,1)分布，且相互独立。等于说我们用两个独立的U(0,1)随机数得到了两个独立的N(0,1)随机数。值得说明的是，该方法产生的随机数质量很高。嘻嘻，本人亲自验证过。SAS和蒙特卡罗模拟_随机数一、为什么选择SAS做蒙特卡罗模拟？为什么要用SAS做蒙卡？首先，对我来说，我只会用SAS，而且打算用SAS完成我所有的工作。当然，其他一些通用的理由有(Fan,etc.,2002)：1.蒙卡是个计算密集的活，而SASBase、SASMacro、SAS/IML强大而灵活的编程能力能满足这一要求；2.做蒙卡时要用到大量的统计/数学技术，而SAS就内置了大量的统计/数学函数(在SAS/Stat和SAS/ETS)；用Fortran或C++当然也是非常好的主意，只是他们缺少内置的统计函数，代码就要冗长复杂很多。二、什么是蒙卡？一个启发性例子好，开始，什么是蒙卡？了解它背景知识的最好办法当然是wiki-Monte_Carlo_method。蒙特卡罗是位于摩洛哥的一家赌场，二战时，美国LosAlamos国家实验室把它作为核裂变计算机模拟的代码名称。作为模拟方法，蒙卡以前就叫统计抽样(statisticalsampling)，我们感兴趣的结果因为输入变量的不确定而不可知，但如果能依概率产生输入变量的样本，我们就可以估计到结果变量的分布。跟蒙卡对应的，还有一种模拟技术叫系统模拟，包括排队、库存等模型，这些模型都跟随时间推移而出现的事件序列有关。下面举个蒙卡的例子，来自Evans,etc.(2001)的超级简化版。假设一家企业，利润是其需求量的函数，需求是随机变量。为了简化讨论，假定利润就是需求的两倍。这里输入变量就是不可控的需求，结果变量就是我们感兴趣的利润。假设需求以相同的概率取10、20、30、40、50、60这六种情况。在这样的简化下，我们就可以投一枚均匀的骰子来产生需求的样本，如果点数为1，对应得需求就是10，点数为2，需求就是20，以下类推。这样，我们的模拟过程就是：1.投骰子；2.根据骰子的点数确定需求量；3.根据需求量，求利润。掷10次骰子，假设我们的模拟结果如下：重复次数骰子点数需求量利润1550100233060333060466012051102063306074404085501009220201055050这样通过模拟需求的样本，我们对结果利润的分布也就有所知晓，比如平均利润可以算出就是63。蒙卡一个重要的步骤就是生成随机数，这里我们是用投骰子来完成。三、又一个例子：利用蒙特卡罗模拟方法求圆周率∏(pi)再举个很有名的例子，就是估计圆周率∏的值，来自Ross(2006)。这个试验的思路正好可以帮我们温习一下几何概型的概念。我们知道概率的古典概型，就是把求概率的问题转化为计数：样本空间由n个样本点组成，事件A由k个样本点组成，则事件A的概率就是k/n。考虑到概率和面积在测度上具有某种共性，几何概型的基本想法是把事件跟几何区域相对应，用面积来计算概率，其要点是：1.认为样本空间Ω是平面上的某个区域，其面积记为υ(Ω)；2.向区域Ω随机投掷一点，该点落入Ω内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关；3.设事件A是Ω的某个区域，面积为υ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域A的可能性称为事件A的概率，P(A)=υ(A)/υ(Ω)。扯远了，回到用蒙卡估计圆周率∏的实验思路。假设样本空间是一个边长为2面积为4的正方形，我们感兴趣的事件是正方形内的一个半径为1面积为∏的圆，所以向正方形内随机投掷一点，落在圆里面的概率为∏/4。实验的思路如下：1.1）生成随机数——生成n个均匀落在正方形内的点；2.2）对落在正方形内的n个点，数一数正好落在圆里面的点的个数，假设为k（另外n-k个点就落在圆外面的正方形区域内）。3.3）k/n就可以大致认为是圆的面积与正方形的面积之比，另其等于∏/4，就可以求出圆周率∏的估计值。又，Forcode提供了利用电子表格Excel求解以上问题的详细过程，有兴趣可以看看。另外，这里也有一个详细的说明，用Mathematica实现。四、随机数很重要（以及下期预告）在第一个例子中，我强调了骰子要是均匀的。那里骰子就是我们的随机数生成器，骰子的均匀程度就是我们随机数的“随机”成分。在上面的10次试验中，投出了3次点数“3”和3次点数“5”，然后点数“1”、“2”、“4”、“6”各出现一次——因为只是重复了10次，这样我们对骰子的均匀程度不好评估，但如果重复无数次——假如是十万次，如果还出现类似比例的结果，那么就有理由怀疑这粒骰子的均匀程度了。如果骰子灌了铅，比如投出点数“6”的可能性从六分之一上升到6分之三，那么根据这粒骰子来做模拟，我们就有高估需求以及利润的危险。下次就讲讲随机数的生成原理，当然结合SAS来讲，或者也会提一下Excel。五、其他软件包在商业领域，基于Excel的插件比较兴盛，比如CrystalBall应用就较为普遍，有试用版可以下载。其他竞争产品有@Risk、RiskSolver等。现在据说RiskSimulator也开始兴盛起来，大有后来居上之势。他的开发者JohnathanMun还在WileyFinance系列有一本书，ModelingRisk:ApplyingMonteCarloSimulation,RealOptionsAnalysis,Forecasting,andOptimizationTechniques。S语言（R或者S-Plus）由于其面对对象的特性，加之丰富的内置函数和诸多用户提供的库，使得R或者S-Plus也是蒙卡研究的得力工具——或者比SAS更有前景。这个我不熟，略之。RandomNumbers最简单、最基本、最重要的随机变量是在[0,1]上均匀分布的随机变量。一般地，我们把[0,1]上均匀分布随机变量的抽样值称为随机数，其他分布随机变量的抽样都是借助于随机数来实现的。以下谈的都是所谓“伪随机数”(PseudoRandomNumbers)。产生随机数，可以通过物理方法取得（很久很久以前，兰德公司就曾以随机脉冲源做信息源，利用电子旋转轮来产生随机数表），但当今最为普遍的乃是在计算机上利用数学方法产生随机数。这种随机数根据特定的迭代公式计算出来，初值确定后，序列就可以预测出来，所以不能算是真正的随机数（就成为“伪随机数”）。不过，在应用中，只要产生的伪随机数列能通过一系列统计检验，就可以把它们当成“真”随机数来用。现在大多软件包内置的随机数产生程序，都是使用同余法(CongruentialRandomNumbersGenerators)。“同余”是数论中的概念。0.预备知识：同余捡回小学一年级的东西：4/2=2读作“4除以2等于2”，或者，“2除4等于2”。还有求模的符号mod(number,divisor)，其中，number是被除数（在上式中，为4），divisor是除数（上式中的2）。这样的约定对SAS和Excel都通用，如mod(4,13)=4，mod(13,4)=1。现在我们可以开讲“同余”了。设m是正整数，用m去除整数a、b，得到的余数相同，则称“a与b关于模m同余”。上面的定义可以读写成，对整数a、b和正整数m，若mod(a,m)=mod(b,m)，则称“a与b关于模m有相同的余数（同余）”，记做a≡b(modm)（这就是同余式）。举个例子，mod(13,4)=1，mod(1,4)=1，则读成13和1关于模4同余，记做13≡1(mod4)。当然，同余具有对称性，上式还可以写成1=13(mod4)。a≡b(modm)的一个充要条件是a=b+mt，t是整数，比如13=1+3*4。a=b+mt可以写成(a-b)/m=t，即m能整除(a-b)。这些就够了。更多基础性的介绍，可以参考《同余（数据基础）》。1.乘同余法同余法是一大类方法的统称，包括加同余法、乘同余法等。因为这些方法中的迭代公式都可以写成上面我们见过的同余式形式，故统称同余法。常用的就是下面的乘同余法(MultiplicativeCongruentialGenerator.)。符号不好敲，做些约定，如R(i)就是R加一个下标i。乘同余法随机数生成器的同余形式如下：R(i+1)=a*R(i)(modm)。这个迭代式可以写成更直观的形式，R(i+1)=mod[a*R(i),m]，其中初值R(0)称为随机数种子。因为mod(x,m)总是等于0到m-1的一个整数，所以最后把R(i+1)这个随机序列都除以m，就可以得到在[0,1]上均匀分布的随机数。下面用电子表格演示一遍，假设随机数种子R(0)=1，a=4，m=13：ABCDE1iR(i)a*R(i)mod[a*R(i),m]mod[a*R(i),m]/m201=B2*4=mod(C2,13)=D2/1331=D2=B3*4=mod(C3,13)=D3/1342=D3=B4*4=mod(C4,13)=D4/13上面显示的是公式（Excel中，公式与计算结果的转换，用快捷键ctrl+~实现），结果看起来是这样的，E列就是我们想要的在[0,1]上均匀分布的随机数：ABCDE1iR(i)a*R(i)mod[a*R(i),m]mod[a*R(i),m]/m201440.3076923083141630.23076923142312120.923076923上表中，a*R(1)=16，R(2)=3，m=13，一个同余式就是R(2)=a*R(1)(modm)，3=1