2009矩阵分析试题A参考答案及评分标准

1重庆邮电大学2009级研究生(矩阵分析)考卷（A卷）参考答案及评分细则一、已知1(1,2,1,0)T，2(1,1,1,1)T，1(2,1,0,1)T，2(1,1,3,7)T求12{,}span与12{,}span的和与交的基和维数。（10分）解：因为12{,}span+12{,}span=1212{,,,}span(2分)由于秩1212{,,,}=3，且121,,是向量组1212,,,的一个极大相信无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,。(2分)设1212{,},spanspan于是由交空间定义可知11221122kkll此即121211212111011030117kkll解之得1122122,4,3(klkllll为任意数）(2分)于是11222[5,2,3,4]Tkkl，1122ll（很显然）所以交空间的维数为1，基为T[-5,2，3，4](2分)二、证明：Jordan块10()0100aJaaa相似于矩阵0000aaa，这里0为任意实数。（10分）证明：由于容易求出两个矩阵的不变因子均为31,1,()a，从而这两个矩2阵相似，于是矩阵10()0100aJaaa与0000aaa相似.三、求矩阵101120403A的(1)Jordan标准型；（2）变换矩阵P；（3）计算100A。（10分）解（1）Jordan标准型为110010002J(3分)（2）相似变换矩阵为100111210P(3分)（3）由于1PAPJ，因此1nnAPJP，容易计算10010010010019901002012210124000201A(4分)四、验证矩阵0110000iAi是正规阵，并求酉矩阵U，使HUAU为对角矩阵。(10分)解:20001,01HHAAAAiAi是正规矩阵,(2分)2110(2)0iEAi,令0EA得特征根:31230,2,2ii(2分)当10时,解得特征向量为:1(0,,1)Ti当22i时,解得特征向量为:2(2,,1)Ti当32i时,解得特征向量为:2(2,,1)Ti(3分)显然123,,正交,将它们分别单位化得:11(0,,)22iv,221(,,)222iv,321(,,)222iv令22022222111222iiUi得000020002HUAUii(3分)五、已知A是Hermit矩阵，且0kA（k为自然数），试证：0A＝。（10分）证明:因为A是Hermit矩阵，所以存在酉矩阵U使得12000000HnUAU,(其中i为A的特征根,且为实数)(3分)于是12000000HnAUU(2分)从而4120000000kkkHknAUU(2分)所以120n故0A(3分)六、验证矩阵024102211042A为单纯矩阵，并求A的谱分解。（10分）解:因为32241232(1)(2)21142AE所以得特征要分别为:1,231,2(3分)当1时,求得线性无关的特征向量分别为12(2,1,0),(4,0,1)TT,(1分)当2时,求得线性无关的特征向量分别为3(4,2,1)(1分)所以123244(,,)102011P5112211163361212112211()12633661112211263333TTP因此123122112111(,,),(,,),(,,)63312631263TTT(3分)于是A的投影矩阵为1112214412833333312200063311100012632243331226331121263TTG2331243331126331111263TG故A谱分解表达式为122AGG(2分)6七、讨论下列矩阵幂级数的敛散。（10分）八、设12(,,,)n与12(,,,)n是实数域R上的线性空间V的两组基，且1212(,,,)(,,,)nnP，又对任意的xV有证明：（1）2x是V中的向量范数；（2）当P是正交矩阵时，有22。（10分）22111100170.20.5111;2;3011.030.10.5001kkkkkkkk1111222212,,,.nnnnnxyxyxyxyxxyxy12n，，，；，211k12221111k2111(1)3(1),(1);2A0.7(2),A1,(1)100100100111130110110(3),001001100kkkkkkkkkkkRARAkkkkkkk答：分，分，发散分分收敛分；分()1.kijka9个级数都收敛，该矩阵幂级数收敛（1分）722222211122120;0000.,,,,nnnxVRaxxxbkxkkkxcxyVxyxxyyxy12n证（1）：是到的映射；(非负性)：若0,则0，而是向量范数，因此当且仅当时，而当且仅当（2分）；(齐次性)：（2分）;(三角不等式)：、，设，，，；1222222..nnyxyxyxyxyxV，则（2分）；故是中的向量范数222(1)(1)(1)(1).TTTTPPPPP证（2）：=分=分分分九、已知矩阵计算A。（10分）100121,002A8十、以下三题任选一道。（10分）1、证明:在nC上的任何一个正交投影矩阵P是半正定的Hermit矩阵。证明:由正交投影矩阵的性质知:存在次酉矩阵nrrUU使得HPUU于是,由HHPPUU知P是Hermit矩阵(5分)又由于当nXC时有()()(,)0HHHHHHHHXPXXUUXUXUXUXUX所以P是半正定的Hermit矩阵(5分)2、证明：正规矩阵属于不同特征值的特征子空间是互相正交的。证明:设,,,ijiiijjjAxxAxx则(,)(,)(,)()()iijiijijHHTjijiTTHHijijxxxxAxxxAxxAxxAxxAx(4分)2111.1,12110010021,110,110,200100120012220022001122.22002EAJPPffAPfJPfffff答（2分）（2分）（2分）（2分）（2分）9由正规矩阵的性质知:(,)()()()()()()(,)HHHHiijijijjjijTHHHjijjijHjjijijxxxAxxxxxxxxxxxxx(4分)由于ij,故(,)0ijxx(2分)3、设V是数域K上的2维线性空间，V的一组基为12,，V的两个子空间分别为0,,)(21212211202101kkKkkkkWKkkW且证明：V=W1W2.证明:由于112{}Wspan，212{}Wspan.(3分)因此，121212{,}WWspan，(2分)而1212{,}线性无关，所以，12VWW，(3分)又因为，12{0}WW，所以V=W1W2.(2分)