二次函数与反比例函数综合

专题四：二次函数与反比例函数综合学习目标：1、会用待定系数求解析式2、掌握二次函数与反比例函数的图象与性质3、通过观察函数的图像，会数形结合求取值范围知识框架：备注：1、图象变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交2、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点成中心对称；（2）对于k取互为相反数的两个反比例函数来说，它们是关于原点成轴对称。3、几何意义：过图象上任一点作x轴与y轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。*区间根定理如果在区间ab，上有0fafb，则至少存在一个xab，，使得0fx．此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．f(b)f(a)ba真题汇编：第一部分（选择题）（2017～2018学年北京西城区北京三十五中初三下学期期中第8题3分）当a≠0时，函数y=ax与y=-ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）ABCD【方法总结】（2017-2018学年北京西城区北京育才学校初三上学期期中教育创新中心第10题3分）已知反比例函数2ayx，当0x时，y随x的增大而增大，一次函数ybxc，y随x的增大而减小，且与y轴负半轴相交，那么二次函数2yaxbxc的图象与x轴（）A必有两个交点B有可能有两个交点C有两个交点或一个交点D无交点【方法总结】第二部分（填空题）（2017-2018学年北京朝阳区初三上学期期末第13题）如图，双曲线xky与抛物线cbxaxy2交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组cbxaxxk20的解集为.【方法总结】（2015-2016学年北京海淀区北大附中初二下学期期中第25题）阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式20kxx(k＞0)成立的x的个数。小明发现，先将该等式转化为2kxx，再通过研究函数2ykx的图像与函数yx的图像（如图）的交点，使问题得到解决。（1）当1k时，使得原等式成立的x的个数为_______。（2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为________。（3）当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为_________。（4）参考小明思考问题的方法，解决问题：关于x的不等式24xax＜0(a＞0)只有一个整数解，求a的取值范围。【方法总结】第三部分（解答题）1、【2016-2017学年北京西城区北师大附中初三上学期期中第28题】如图,抛物线L:(常数t0)与x轴交于A、B两点(点B在点A左侧).过线段OA的中点M作MP⊥x轴,交函数(k0,x0)的图象于点P,且OA·MP=12(1)求k值(2)当t=1时,求直线MP与抛物线L的对称轴之间的距离,(3)把物线在直线MP左侧的部分(含与直线MP的交点)记为图象G,求图象G最高点的坐标(用t表示)(4)若抛物线L与函数(k0,0)的图象有个交点的横坐标为,并目满足4≤≤6请直接写出t的取值范围【方法总结】)4)((21txtxyxkyxky0x0x2、（2015房山期末）已知抛物线．（1）求证：无论为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；（2）若A2(3,2)nn、B2(1,2)nn是抛物线上的两个不同点，求抛物线的表达式和n的值；（3）若反比例函数(0,0)kykxx的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x，且满足20x3，求k的取值范围.【方法总结】3、(2017∽2018学年北京海淀区十一学校初三上学期期末（常规班）第28题8分）我们定义：某函数图像G上，如果存在着点P(m,n)满足m=n我们称P点为该函数图像G上的不动点.如果在平面直角坐标系中，某几何图形C上，存在着点P(m,n)满足m=n,我们点为该几何图形C的不动点.例如：正比例函数y=x的图像上所有点都是不动点，而正比例函数y=-x的图像上不动点为(0，0）.(1)写出函数42yx图像上的不动点A的坐标.(2)若函数)0()1()0(x12yxkxx图像上两个不动点，求k的取值范围。（3）若圆M的圆心坐标是)1,aa（，圆M存在不动点，直接写出a的取值范围。【方法总结】2154(3)22myxmxm4、（2014-2015学年北京海淀区初三上学期期末第23题）在平面直角坐标系中，反比例函数kyx的图象经过点(1,4)A，(,)Bmn.（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数2(1)yx的图象经过点B，求代数式32234mnmnmnn的值；（3）若反比例函数kyx的图象与二次函数2(1)yax的图象只有一个交点，且该交点在直线yx的下方，结合函数图象，求a的取值范围.【方法总结】5、（2015-2016北京市鲁迅中学）216．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），(31，31)，(2，2)，…，都是和谐点．（1）判断函数12xy的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数)0(42acxaxy的图象上有且只有一个和谐点(23，23)，且当mx0时，函数)0(4342acxaxy的最小值为－3，最大值为1，求m的取值范围．（3）直线2:kxyl经过和谐点P，与x轴交于点D，与反比例函数xnyG：的图象交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点P的横坐标为1，且23DNDM，请直接写出n的取值范围．【方法总结】xOy12345-1-2-3-4-5-5-4-3-2-154321yxO12345-1-2-3-4-5-5-4-3-2-154321yxO6、(2017-2018学年北京东城区景山学校初三上学期期中第26题）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线1yaxb与双曲线2kyx交于两点A(1,3)和B（-3，-1）。观察图象可知：①当x=-3或1时，12yy②当30x或1x时，12yy，即通过观察函数的图象，可以得到不等式kaxbx的解集。有这样一个问题，：求不等式32440xxx的解集。某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式32440xxx的解集进行了探究。下面是他的探究过程，请将（1）（2）（3）补充完整：将不等式按条件进行转化。当x=0时，原不等式不成立；当0x时，原不等式可以转化为2441xxx；当0x时，原不等式可以转化为2441xxx（1）构造函数，画出图象设234441,yxxyx，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象。双曲线44yx如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线2341yxx（不用列表）（2）确定两个函数图象公共点的横坐标，观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足34yy的所有x的值为（3）借助图象，写出解集，结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式32440xxx的解集为【方法总结】【纠错回顾】