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恰当方程(全微分方程)一、概念二、全微分方程的解法(,)(,)0(,)(,)0dyfxydxfxydxdyPxydxQxydy接下来,我们探讨另外一类可用初等解法求解的方程类型。为此,将一阶正规形微分方程改写成,或更一般地,的形式。(,)(,)0yxxyxyPxydxQxydy由前面的例子可以看到,把微分方程写成这种形式的优点在于:既可以把看成未知函数,看成自变量;也可以把看成未知函数,看成自变量。即变量与变量在方程中的地位是对称的,因此也常对称形称形式的式为的方程为微分方程。一、概念若有全微分形式(,)(,)(,)dxyPxydxQxydy则(,)(,)0PxydxQxydy称为全微分方程。定义:例1:0xdxydy221(,)(),2uxyxy令(,),duxyxdxydy所以是全微分方程.方程是否为全微分方程?解:通解则为(C为任意常数)。(,)xyC0ydxxdy例:求方程的通解。(),0.dxyydxxdyydxxdyxyC解:因为所以为恰当方程,且通解为问题:(1)如何判断全微分方程?(2)如何求解全微分方程?(3)如何转化为全微分方程?定理1设函数和在一个矩形区域是全微分方程中连续且有连续的一阶偏导数,则(1)证明必要性证明:因为是全微分方程,则存在原函数,使得(,)xy(,)(,)(,)dxyPxydxQxydy所以(,),(,)PxyQxyxy将以上二式分别对求偏导数,得到,xy22,PQxyyyxx又因为偏导数连续,(,),(,)PxyQxy22xyyx,即所以PQyx(2)证明充分性PQyx设,求一个二元函数使它满足(,)xy(,)(,)(,)dxyPxydxQxydy即(,),(,)PxyQxyxy由第一个等式,应有0(,)(,)()xxxyPxydxy代入第二个等式,应有0(,)()xxPxydxyyy0(,)()xxQxydxyx这里00(,)xyR0(,)()xxQxydxyx0(,)(,)()QxyQxyy因此0()(,)yQxy00()(,)yyyQxydyC,则因此可以取000(,)(,)(,)xyxyxyPxydxQxydy此时(,)(,)(,)dxyPxydxQxydy这里由于,故曲线积分与路径无关。因此PQyx00(,)(,)(,)(,)(,)xyxyxyPxydxQxydy二、全微分方程的解法(1)线积分法:或000(,)(,)(,)xyxyxyPxydxQxydy00(,)(,)(,)(,)(,)xyxyxyPxydxQxydy(2)偏积分法(,),(,)PxyQxyxy(,)(,)()xyPxydxy第一个等式对积分x代入第二个等式求()y,即可得(,)xy(3)凑微分法直接凑微分得(,)xy例2:验证方程是全微分方程,并求它的通解。由于解:所以方程为全微分方程。(1)线积分法:故通解为(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有代入可得因此从而即(3)凑微分法:由于方程的通解为:根据二元函数微分的经验,原方程可写为例3:验证方程是全微分方程,并求它的通解。由于解:所以方程为全微分方程。(1)线积分法:故通解为(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有所以从而即(3)凑微分法:方程的通解为:根据二元函数微分的经验,原方程可写为练习:验证方程是全微分方程,并求它的通解。方程的通解为:积分因子法一、概念二、积分因子的求法一、定义:0),(yxm连续可微函数,使方程0),(),(),(),(mmdyyxQyxdxyxPyx成为全.微分方程则称),(yxm为方程的积分因子.例1验证x是方程2(24)0yxdxxdy的积分因子,并求方程的通解。解:22(24)0xyxdxxdy是全微分方程。方程通解为24xyxC1.公式法:()(),PQyxmmxQxQyPyPmmmm,m求解不容易特殊地:,0ym,dxdxmmlnlnPQQPxyyxmm(两边同除)a.当只与有关时,mx二、积分因子的求法PQQPxyyxmmm11PQQPxyyxmmmm)(1lnxQyPQdxdm)(xf.)()(dxxfexm,0xm,dydymm)(1lnyPxQPdydm)(yg.)()(dyygeymb.当只与有关时,uy2.观察法:凭观察凑微分得到),(yxm常见的全微分表达式)2(22yxdydyxdx)(xydxdyydx)(2xydxydxxdy)(2yxdyydxxdy)(lnxydxyydxxdy)(arctan22xydyxydxxdy)(ln2222yxdyxydyxdx一般可选用的积分因子有22222221111,,,,,xyxyxxyxyyx等。xdyydx可选用的积分因子有22221111,,,xyxyxyxdxydy可选用的积分因子有2211,xy例2解12(),PQQyxx2()dxxxem则原方程成为21(3)(2)0,yxdxydyxx21.x.的通解求微分方程32(3)(2)0xydxxyxdy1.公式法:223()2ydxyx原方程的通解为232ydxxdyxdxydyx2232yxyCx2.观察法:将方程左端重新组合,有32(32)()0xdxxydyydxxdyydxxdy可选用的积分因子有22221111,,,xyxyxy3232xdxxydy可选用的积分因子有21x因此取积分因子为21x原方程的通解为2232yxyCx分组求积分因子的思想。练习求微分方程的通解。2()0yxdxxdy
本文标题:全微分方程的解法
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