运筹学第六章图与网络分析

第六章图与网络分析6.1图的基本概念与数学模型6.2树图和图的最小部分树6.3最短路问题6.4中国邮路问题6.5网络最大流问题6.6网络模型的实际应用第六章图与网络分析•图是一种模型，如公路、铁路交通图，通讯网络图等。•图是对现实的抽象，以点和线段的连接组合表示。§6.1图的基本概念和模型一、概念（1）图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事物的抽象。记作G=｛V,E｝,V=｛v1,v2,···,vn｝,E=｛e1,e2,···,em｝点：表示所研究的事物对象；边：表示事物之间的联系。v1v2v3v4v0e1e2e3e4e5e6e7e0（2）若边e的两个端点重合，则称e为环。（3）多重边：若某两端点之间多于一条边，则称为多重边。（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能重复。（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。（7）圈：始点和终点重合的链。（8）回路：始点和终点重合的路。（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条链，称这样的图为连通图。（10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝,G2={V2,E2},如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。（11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。二、图的模型例：有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加A、B、C、D、E、F六个项目的比赛。如表中所示，打“√”的项目是各运动员报名参加比赛的项目。问：六个项目的比赛顺序应如何安排，才能做到使每名运动员不连续地参加两项比赛？甲乙丙丁戊己人ABCDEF√√√√√√√√√√√√√建立模型：解：项目作为研究对象，排序。设点：表示运动项目。边：若两个项目之间无同一名运动员参加。ABCDEFA—C—D—E—F—BA—F—E—D—C—BA—C—B—F—E—DA—F—B—C—D—E顺序：§6.2树图和图的最小部分树（1）树：无圈的连通图称为树图，简称为树。一、树图的概念（2）树的特性：①树是边数最多的无圈连通图。在树中任加一条边，就会形成圈。②树是边数最少的连通图。在树中任减一条边，则不连通。（3）图的最小部分树：定义：若G1是G2的一个部分图，且为树图，则称G1是G2的一个部分树。G2：ABCD547365576G1：ACBD定义：树枝总长为最短的部分树称为图的最小部分树。二、最小部分树的求法例：要在下图所示的各个位置之间建立起通信网络，试确定使总距离最佳的方案。树枝：树图中的边称为树枝。SABCDET5455最小部分树长Lmin=141.避圈法1.避圈法：将图中所有的点分V为V两部分，V——最小部分树内点的集合V——非最小部分树内点的集合⑴任取一点vi加粗，令vi∈V，⑵取V中与V相连的边中一条最短的边(vi,vj)，加粗(vi,vj)，令vj∈V⑶重复⑵，至所有的点均在V之内。2.破圈法：⑴任取一圈，去掉其中一条最长的边，⑵重复，至图中不存在任何的圈为止。SABCDET5455×××最小部分树长Lmin=142.破圈法§6.3最短路问题在图示的网络图中，从给定的点S出发，要到达目的地T。问：选择怎样的行走路线，可使总行程最短？方法：Dijkstra（D氏）标号法——按离出发点的距离由近至远逐渐标出最短距离和最佳行进路线。S1．求某两点间最短距离的D（Dijkstra）氏标号法247SABCDET545502447891413594最短路线：SABEDT最短距离：Lmin=132．求任意两点间最短距离的矩阵算法⑴构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）=dij（0）SABCDETS0254A2027B520153C4104D75015E34107T570D（0）=⑵构造任意两点间直接到达、或者最多经过1个中间点到达的最短距离矩阵D（1）=dij（1）其中dij（1）=min{dir（0）+drj（0）}，SABCDETS024498A20237512B42014310C43105411D9745015E8534106T121011570D（1）=irjdir（0）drj（0）rdSE（1）=min{dSS（0）+dSE（0）,dSA（0）+dAE（0）,dSB（0）+dBE（0）,dSC（0）+dCE（0）,dSD（0）+dDE（0）,dSE（0）+dEE（0）,dST（0）+dTE（0）}=8例如其中dij（2）=min{dir（1）+drj（1）}SABCDETS02448714A20236511B4201439C43105410D8645015E7534106T1411910560D（2）=irjdir（1）drj（1）r⑶构造任意两点间最多可经过3个中间点到达的最短距离矩阵D（2）=dij（2）其中dij（3）=min{dir（2）+drj（2）}SABCDETS02448713A20236511B4201439C43105410D8645015E7534106T1311910560D（3）=irjdir（2）drj（2）r⑷构造任意两点间最多可经过7个中间点到达的最短距离矩阵D（3）=dij（3）说明：一般，对于D（k）=dij（k），其中dij（k）=min{dir（k-1）+drj（k-1）}，k=0，1，2，3，······最多可经过2k-1个中间点：其数列为{0，1，3，7，15，31，······，2k-1，······}收敛条件：①当D（k+1）=D（k）时，计算结束；②设网络中有p个点，即有p-2个中间点，则2k-1-1p-22k-1k-1log2(p-1)k∴Klog2(p-1)+1，∴计算到k=lg(p-1)/lg2+1时，收敛，计算结束。例：有7个村镇要联合建立一所小学，已知各村镇小学生的人数大致为S—30人，A—40人，B—20人，C—15人，D—35人，E—25人，T—50人。问：学校应建在那一个地点，可使学生总行程最少？SABCDETS02448713A20236511B4201439C43105410D8645015E7534106T1311910560L=30402015352550人数=[1325103088010359108651485]T解：§6.4中国邮路问题问题：一名邮递员从邮局出发，试选择一条最短的投递路线？v1v2v3v4v5v6v8v7v9v10v11v12v13邮局44455124125447422奇点：图中次为奇数的点称为奇点。偶点：图中次为偶数的点称为偶点。结论：最短投递路线应具有下述特征：⑴若图中所有的点均为偶点，则可不重复走遍所有街道；⑵重复走的路线长度应不超过所在回路总长度的一半。步骤：1.两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；2.检查重复走的路线长度，是否不超过其所在回路总长的一半，若超过，则调整连线，改走另一半。v1v2v3v4v5v6v8v7v9v10v11v12v13邮局44455124125447422投递距离：L=60+18=78§6.5网络最大流问题一、网络最大流中有关概念⑴有向图：含有以箭头指示方向的边的网络图。⑵弧：有向图上的边称为弧。用（vi,vj）表示。⑶弧的容量：弧上通过负载的最大能力，简称容量。以cij表示。⑷流：加在网络每条弧上的一组负载量，以fij表示。⑸可行流：能够通过网络的负载量，通常应满足两个条件：①容量限制条件：对所有的弧，0fijcij②中间点平衡条件：对任何一个中间点，流入量=流出量⑹发点、收点、中间点：流的起源点称发点，终到点称收点，其余的点称中间点。⑺最大流；能够通过网络的最大流量。⑻割集：一组弧的集合，割断这些弧，能使流中断。简称割。v1vsv2v3v4vt9(4)9(9)6(1)(0,+∞)(vs,2)(v2,2)(v1,2)(v3,1)(v4,1)5(4)cijfij⑼割的容量：割集中各弧的容量之和。⑽最小割：所有割集中容量之和为最小的一个割集。⑾前向弧μ+：一条发点到收点链中，由发点指向收点的弧，又称正向弧。⑿后向弧μ-：一条发点到收点链中，由收点指向发点的弧，又称逆向弧。⒀增广链：由发点到收点之间的一条链，如果在前向弧上满足流量小于容量，即fijcij，后向弧上满足流量大于0，即fij0，则称这样的链为增广链。。二、两个定理定理：网络的最大流量等于它的最小割集的容量。定理：当网络中不存在任何增广链时，则网络达到最大流状态。st设有如下增广链：∵△f=1∴该网络没有达到最大流状态。三、网络最大流的标号算法(Ford-Fulkerson标号算法)基本思想：寻找增广链，改善流量分布；再重复，直到不存在任何增广链为止。步骤：①给始点标号：（0，+∞）②从已标号点i出发，看与其相关联的未标号点j上的弧，对μ+，若有0fijcij，则可对j点标号，记（i,ε(j)），其中ε(j)=min{ε(i)，cij-fij}对μ-，若有0fjicij，也可对j点标号，记（i,ε(j)），其中ε(j)=min{ε(i)，fji}（注：若有多个可标号点，可任选其中之一。）若标号中断，则得到最大流状态，否则，重复②，继续标号，至收点得到标号，转③。③当收点得到标号，则沿标号得到的增广链进行流量调整：对μ+，fij=fij+ε(t)对μ-，fij=fij-ε(t)其余弧上的流量不变。④重复上述过程。⑤最小割集：已标号点集合与未标号点集合相连接的弧中，流量=容量的弧。v1vsv2v3v4vt9(5)9(9)6(0)5(3)(0,+∞)(vs,1)(v2,1)(v1,1)最大流量：fmax=14最小割集：｛(v3,vt),(v2,v4)｝§6.6网络模型的实际应用例1：王经理花费12000元购买了一台微型车，以后年度的维护费用取决于年初时汽车的役龄，如表示。为避免使用旧车带来较高的维护费用，王经理可选择卖掉旧车，购买新车使用的方案，旧车的预计收入如表示。为简化计算，假定任何时刻购买新车都需花费12000元，王经理的目标是使净费用最小（购置费+维护费-卖旧车收入）。役龄(年)年维护费预计收入单位：元012345200040005000900012000————70006000200010000解：用网络图模型描述，归结为最短路问题。77777123456121212122121213131441年初5年末例2：图示岛屿与河岸有数座桥相联，问至少需要炸毁几座桥，可中断两岸的交通？ABCDEFABCFED222131111例3：有3根相同的轴A1、A2、A3，另有三根相同的齿轮B1、B2、B3。因为精度不高，不能做到任意的互相配合，其中A1能与B1、B2配合，A2能与B2、B3配合，A3能与B1、B3配合。要求确定合适的配合方案，以得到最多的配合数，将此问题归为网络最大流问题。A1A2A3B1B2B3111111ST111111