工程力学 第五章

内力的概念内力物体因受外力作用而使其内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用力；材料力学中的内力，是指外力作用下，物体各质点之间相互作用力的变化量，所以是物体内部各部分之间因外力而引起的附加相互作用力，即“附加内力”；内力随外力的增加而加大，随外力的撤除而消失。截面法求内力的三步曲沿横截面截开，留下一部分作为研究对象，弃去另一部分——截开用作用于截面上的内力代替弃去部分对留下部分的作用——替代对留下部分建立平衡方程并解之——平衡F1F3F2Fn假想截面F1F2F3Fn分布内力内力必须满足平衡条件作用在弹性体上的外力相互平衡内力与外力平衡；内力与内力平衡。F1F3F2Fn假想截面F1F2F3Fn分布内力弹性体受力与变形特点F1FRF3MF1FnF3F2内力主矢与内力主矩(ResultantForceandResultantMoment)使用静力平衡方程求出内力FR和MSFi=FRSmo(Fi)=M内力分量(ComponentsoftheInternalForces)在确定的坐标系中,轴力、剪力、扭矩、弯矩及其可能产生的变形效应。FRFNFQMMBMx引言(Introduction)例1.1确定m-m截面上的内力N=PM=Pa整个杆件最大的轴力发生在固定端截面上，其值：例1直径为d长为l圆截面直杆，铅垂放置，上端固定，若材料单位体积质量为，试求因自重引起杆的m-m截面的内力。解：一、拉、压杆的内力(InternalForces)轴力图举例轴力图例-2：F1=2.5kN,F3=1.5kN,画杆件轴力图。解：1)截面法求AC段轴力，沿截面1-1处截开，取左段如图14-1-2所示∑Fx=0FN1-F1=0得：FN1=F1=2.5kN2)求BC段轴力，从2-2截面处截开，取右段，如图14-1-3所示∑Fx=0–FN2-F3=0得：FN2=-F3=-1.5kN（负号表示所画FN2方向与实际相反）3)图14-1-4为AB杆的轴力图已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。110xFkN1011FFN例题2-3FN1F1解：1、计算各段的轴力。F1F3F2F4ABCDAB段kN102010212FFFNBC段2233FN3F4FN2F1F2122FFFN0xF0xFkN2543FFNCD段2、绘制轴力图。kNNFx102510轴力图举例轴的扭矩扭转内力扭矩Torque:用T表示扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则：矢量离开截面为正，矢量指向截面为负。轴的扭矩图示例扭矩图计算时扭矩用矢量表示例题AB段扭矩0183.6T,01xMNm183.6T1AC段扭矩082.91T,02xMNm82.91T2§5-2弯曲的概念和内力•弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。通常将承受弯曲变形的杆件称为梁。•对称弯曲：载荷作用在梁的纵向对称平面内。—平面弯曲§5-2弯曲的概念和内力梁的类型静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定。静定梁的基本形式有：简支梁：一端固定铰支座，另一端可动铰支座的梁，如图5-3a悬臂梁：一端固定端，另一端为自由端的梁，如图5-3b所示。外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁，如图5-3c。图5-3梁的整体处于平衡状态，因此其各个部分也应处于平衡状态。截面m―m上将产生内力,这些内力将与外力FA和F1；或FB和F2；在梁的左半段或右半段构成平衡力系。FS称为横截面m―m上的剪力，它是与横截面相切的分布内力系的合力。01SAyFFF1FFFAySFNFSM0yFFAyFByFNFSM§5.2剪力图和弯矩图§5-2剪力和弯矩根据平衡条件，若把左段上的所有外力和内力对截面m―m的形心O取矩，其力矩总和应为零，即∑MC=0，则这一内力偶矩M称为横截面m―m上的弯矩。它是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。0)(01xFaxFM,MAyC)1a(xFxFMAyFNFSMFAyFAyFNFSMFByFNFSM截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。+_截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。+_左上右下为正；反之为负左顺右逆为正；反之为负剪力和弯矩的符号规则剪力、弯矩方程法若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数，即：函数在直角坐标系下的曲线，即为剪力图和弯矩图。举例如下：剪力图和弯矩图)(xMM(x)FFQQM(x)M(x)FFSS或写成：8/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：任选一截面x，写出剪力和弯矩方程xlxqxxFS0＝lxqxxM02/2＝依方程画出剪力图和弯矩图FSxMxql2/2qll由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为qlFS＝max2/2maxqlM＝§5.2.剪力图和弯矩图的绘制例题5.2-1qxxMxFSBAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝BAMMFAy＝Fb/lFBy＝Fa/l2．写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1ACaxlFbxFS110/＝axlFbxxM1110/＝CBlxalFaxFS22/＝lxalxlFaxM222/＝3.依方程画出剪力图和弯矩图。CFab§5.2.剪力图和弯矩图的绘制例题5.2-2§5.2.剪力图和弯矩图的绘制例题5.2-3BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝BAMMFAy＝M/lFBy＝-M/l2．写出剪力和弯矩方程x2lMa/x1ACaxlMxFS110/＝axlMxxM1110/＝CBbxlMxFS220/＝bxlMxxM2220/＝3.依方程画出剪力图和弯矩图。lM/lMb/CMab内力与外力的相依关系某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；平衡微分方程内力与外力关系杆件各截面上内力变化规律随着外力的变化而改变。平衡微分方程内力与外力关系结论例：简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。【解】（1）求支座反力(2)建立剪力方程和弯矩方程（3）作剪力图和弯矩图qlRB81qlRA83qxqlxF83)(1S212183)(qxxqlxM20lx20lxqlxF81)(2S)(81)(2xlqlxMlxl2lxl2控制面的概念：外力规律发生变化的截面——集中力、集中力偶作用点处、分布载荷的起点和终点处的横截面。内力与外力关系平衡微分方程平衡微分方程考察dx微段的受力与平衡FQ+dFQFQ平衡微分方程ΣFy=0:FQy+qdx-FQy-dFQy=0略去高阶项，得到:ΣMc=0:-Mz+(Mz+dMz)-FQydx-qdx.dx/2=0FQ+dFQFQ平衡微分方程=qdxdFQy类似地在xz平面内，也可以得到类似的表达式，只是下标有所不同。dxdMz=FQy平衡微分方程FQy+dFQyFQyd2Mzdx2=q)(22SxqdxMddxdF)(SxFdxdM=qdxdFQy不失一般性，略去下标，写成2ddddddFSxqMxFSMxq;;2此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。平衡微分方程根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FS、M的变化规律。控制截面分段分析图举例PMF1S1FS22M截面左段图截面右段图内力图(theInternalForceDiagram)剪力图和弯矩图刚架的内力图剪力图和弯矩图画法根据平衡，可以确定控制面上FQ、M数值,确定函数变化区间；根据剪力、弯矩、分布载荷之间的平衡微分方程总结出规律可以确定FQ、M的变化图形。内力图FQ、M图4.集中力作用处，剪力图突变；左右两侧控制面弯矩相等。集中力偶作用处，弯矩图突变；剪力图不变。2.q＝常数，Fs(x)为x的一次函数，剪力图为斜直线；M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（q0），抛物线呈凹形；分布载荷向下（q0），抛物线呈凸形。载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1.q＝0，Fs=常数，剪力图为水平直线；M(x)为x的一次函数，弯矩图为斜直线。3.剪力Fs=0处，弯矩取极值。利用载荷集度、剪力和弯矩间的关系画图利用微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。例题一xQFQxqa/2qa/2FQFQMxMxFQ内力图FQ、M图剪力、弯矩图直接画图法举例例题二xQFQxQqaFQFQMxMxqa2/2qa2FQ内力图FQ、M图剪力、弯矩图直接画图法举例例题三FQ内力图FQ、M图剪力、弯矩图直接画图法举例例题四内力图FQ、M图剪力、弯矩图直接画图法举例可以通过积分方法确定剪力图、弯矩图上各点处的数值。SddFxMxFMddSbabaxFMddSbaFAaMbMSqxFddSxqFddSbabaxqFddSbaSSqAaFbF从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。载荷集度、剪力和弯矩间的关系BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题5.2-5简支梁受力的大小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝BAMM求得A、B二处的约束力FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN根据力矩平衡方程2．确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。EDCF剪力、弯矩图直接画图法举例(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系5．根据微分关系连图线4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS－x和M－x坐标系中。0.891.111.3351.665(-)(-)0.335xFS(kN)O0.89kN=＝1.11kN剪力、弯矩图直接画图法举例例题5.2-5续（-）（+）解法2：1．确定约束力FAy＝0.89kNFFy＝1.11kN2．确定控制面为A、C、D、B两侧截面。FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3．从A截面左侧开始画剪力图。Fs（kN）0.891.11例题5.2-5续剪力、弯矩图直接画图法举例（-）（-）4．从A截面左侧开始画弯矩图。M（kN.m）从A左到A右从C左到C右从D左到D右从A右到C左1.3350.335从C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11从D右到B左从B左到B右例题5.2-5续剪力、弯矩图直接画图法举例qBADa4aFAyFBy例题5.2-6试画出梁剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由00＝，＝BAMM求得A、B二处的约