数学建模试验报告-微分方程

数学建模试验报告（四）姓名学号班级问题：（微分方程）讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系.（1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的.（2）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么后果..问题的分析和假设：问题分析：人口增长与国民收入增长的关系决定人均国民收入指标的变化，人均国民收入与人口增长成反比，与国民收入增长成正比。总资金增长与人口增长都满足指数增长，由题意知：国民平均收入与人口平均资金积累成正比，设此比例系数为a。在国家统计局网站查询得：2012年，我国大陆总人口数为134735万人，总资金（国内生产总值）总量为47.1564万亿元，则a的值约为1。问题假设：1()xt为t时刻总资金积累量2()xt为t时刻的人口数量3()xt为t时刻国民平均收入量()Yt为人口平均资金积累k为总资金的相对增长率r为人口的相对增长率建模：由分析及假设可列出如下方程：一定时期后，增长的人口数量为：22xrx；总资金增长量为11xkx；由题意知：3()()xtaYt12()()()Ytxtxt由上述公式，微分得：33()()()dxtakrxtdt所以当kr时，国民收入0,()xxt增加，即国民平均收入增加。列微分方程如下：11dxkxdt22dxrxdt33()()()dxtakrxtdt求解的Matlab程序代码：建立.M文件，lab4.m，如下：functiondx=lab4(t,x)dx=zeros(3,1);k=0.093;r=0.00479;a=1;dx(1)=k*x(1);dx(2)=r*x(2);dx(3)=a*(k-r)*x(3);主程序：[t,x]=ode45('lab4',[20112100],[134735471564000034999.37]);figure(1),plot(t,x(:,1),'k*')xlabel('时间[年]'),ylabel('总资金积累量[亿元]')figure(2),plot(t,x(:,2),'m-')holdonxlabel('时间[年]'),ylabel('人口总数')figure(3),plot(t,x(:,3),'r+')holdonxlabel('时间[年]'),ylabel('国民平均收入量')计算结果与问题分析讨论：由题意和模型分析知：国民收入量呈指数增长，增长率为（k-r），则当kr时，国民平均收入量才会呈现增长趋势。总资金积累量随时间变化的图像：人口总数随时间变化的图像：国民收入量随时间变化的图像：问题分析：(1)由图像可以看出：总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入是增长的(2)当人口激增时，在一定程度上，人口平均资金积累和国民平均收入都会减少，人们的生活水平会下降，国家应实施宏观调控，来控制人口增长，以保证人民的生活水平进一步提高。