【高中数学选修2-1】3.1.3空间向量的数量积运算

3.1.3空间向量的数量积运算已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b.a·b=|a||b|cosθ规定:零向量与任一向量的数量积为0。回顾：平面向量数量积定义？数量积的几何意义？3已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b.a·b=|a||b|cosθ规定:零向量与任一向量的数量积为0。回顾：平面向量数量积定义：类似地，空间向量是否也有相应的数量积运算呢？1.两个空间向量的夹角的定义:OABaabb如图,已知两个非零向量、ab,在空间任取一点O,作OAa,OBb,则角AOB叫做向量a与b的夹角,记作:,ab.⑴范围:0,ab≤≤,ab=0时,ab与同向;,ab=π时,ab与反向⑵,,abba＝⑶如果,2ab,则称a与b垂直,记为ab起点相同2.两个空间向量的数量积定义注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.已知空间两个非零向量、ab,则cos,abab叫做、ab的数量积,记作ab.即cos,ababab.abA1B1BA类比平面向量,你能说出ab的几何意义吗?显然,对于非零向量、ab,e是单位向量有下列性质:①cos,aeaae；②0;abab③2aaa也就是说2aa.3.两个空间向量数量积的性质注：性质②是证明两向量垂直的依据；性质③实现了向量与向量模之间的转换；2a4.空间向量数量积满足的运算律⑴()()abab⑵abba(交换律)⑶()abcabac(分配律)注意：1.数量积不满足结合律即)()abcabc（2.向量有加、减、乘运算，但向量不能做除法.（数乘结合律）练习222222)()()()3)()()4)()abcabcpqpqpqpqpq1.222,,22abab已知,则ab与的夹角大小为_____.2.判断真假:1)若0,ab则0,0ab()135已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA，求证：lPAPOAl分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！例1.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）10已知:如图,POPA、分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA，求证：lPAPOAla例1.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直（三垂线定理）OAPOal,,同时取向量的方向向量证明：取直线0,OAaOAlPOllPO,,且0POa0OAaPOaOAPOaPAa又因为PAl所以，g分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例2:(直线与平面垂直的判定定理)已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.llllmnlmngngml,gxmyn,lgxlmyln0,0,lmlm0,.lglg即,lgll即垂直于平面内任一直线..解:在内作不与m,n重合的任一直线g,在,,,lmng上取非零向量因m与n相交,故向量m,n,,,,lmng不平行,由共面向量条件,存在唯一实数,使(,)xy例2:已知直线m,n是平面内的两条相交直线,如果⊥m,⊥n,求证:⊥.llln14练习巩固:1.设a,b,c是任意的非零空间向量,且相互不共线,则：①(a·b)c(c·a)b=0②|a|-|b||ab|③(b·c)a(c·a)b不与c垂直④(3a+2b)·(3a2b)=9|a|2-4b2中,真命题是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④2.已知向量,ab满足1,2,3abab,则ab_____.3.如图，在空间四边形ABCD中，2AB，3BC，23BD，3CD，30ABD，60ABC，求AB与CD的夹角的余弦值奎屯王新敞新疆DABCD2.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB,线段AC⊥,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.222abc第2题:12第3题:15法一:发现22222()ababab代入求得.4.已知向量,ab满足1,2,3abab,则ab_____.1法二:由2222abaabb代入求得ab=-2.∴2222abaabb得ab1法三:数形结合法,发现形的特殊性.妙!小结：1、空间向量数量积的定义、性质。2、空间向量数量积的运算律3、向量法证明线线、线面垂直;