2.3.1双曲线及其标准方程1(公开课)

选修2-12.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程复习旧知导入新知1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程)0(1,122222222babxaybyax和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离之3.椭圆的标准方程中a,b,c的关系222cba复习旧知导入新知和等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离的椭圆的定义：差等于常数的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的提出问题：实验探究生成定义[动画演示]数学试验演示[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；[3]拉动拉链（M）。思考：拉链运动的轨迹是什么？（一）用心观察，小组共探（要求：请同学们认真观察图中动画，对比椭圆第一定义的生成，思考点M在运动过程中那些量没有发生变化？在试验中能否找到一种等量关系？）实验探究生成定义数学试验演示[1]取一条拉链；[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；[3]拉动拉链（M）。思考：拉链运动的轨迹是什么？观察AB两图探究双曲线的定义①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如图(B)，|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）上面两条合起来叫做双曲线（一）用心观察，小组共探根据以上分析，试给双曲线下一个完整的定义？双曲线的几何定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.（02a2c）oF2F1M||MF1|-|MF2||=2a(02a|F1F2|)双曲线定义的符号表述：讨论：定义当中条件2a|F1F2|=2c如果去掉，那么点的轨迹还是双曲线吗？定义中需要注意什么?思考：实验探究生成定义群策群力深化概念两条射线F1P、F2Q。F2F1PMQM无轨迹。线段F1F2的垂直平分线。|MF1|=|MF2|F1F2MoF2F1M（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a2c,则轨迹是什么？（3）若2a=0,则轨迹是什么？生活中的双曲线生活中的双曲线可口可乐的下半部玉枕的形状生活中的双曲线生活中的双曲线理解概念探求方程F2F1MxOy以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，设M（x,y）,则F1(-c,0),F2(c,0)求点M轨迹方程。|MF1|-|MF2|=±2a建系标准：简洁、对称（一）齐思共想，推导方程理解概念探求方程yoF1MP={M||MF1|-|MF2|=+2a}_再次平方，得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)由双曲线的定义知，2c2a,即ca,故c2-a20,令c2-a2=b2,其中b0,代入整理得：2ayc)(xyc)(x2222=x2a2-y2b21(a0,b0)（二）自我展示，大家共赏（自由发言，其他小组仔细观察、听取推导过程，如有不同见解及时补充。）理解概念探求方程xyoF1F2M=x2a2-y2b21(a0,b0)方程叫做双曲线的标准方程它表示的双曲线焦点在x轴上，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2（三）提炼精华，总结方程当双曲线的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢？思考：理解概念探求方程F1F2xyF1F2oxy（1）焦点在x轴上（2）焦点在y轴上－22ax22by=1－22ay22bx=1F1（-c,0）、F2（c,0）F1（0,-c）、F2（0,c）根据系数正负来判断焦点位置。c2=a2＋b2(a0,b0)（三）提炼精华，总结方程o归纳比较强化新知定义方程焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab知识迁移深化认知例1:如果方程表示双曲线，求m的取值范围.22121xymm解:方程表示焦点在y轴双曲线时，则m的取值范围_____________.22121xymm思考：21得或mm(2)(1)0由mm2m∴m的取值范围为(,2)(1,)知识迁移深化认知例2:已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足126PFPF,求动点P的轨迹方程.解：∴126PFPF∵焦点为12(5,0),(5,0)FF∴可设双曲线方程为:22221xyab(a0,b0).∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.所以点P的轨迹方程为221916xy(3)≥x.∵1210FF6,由双曲线的定义可知，点P的轨迹是双曲线的一支(右支),知识迁移深化认知变式训练:已知两定点1(5,0)F,2(5,0)F,动点P满足1210PFPF,求动点P的轨迹方程.解：∴1210PFPF轨迹方程为0(55)yxx或≥≤.∵1210FF,点P的轨迹是两条射线,四、插入视频例3.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2．根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：知识迁移深化认知变式训练：已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的两个顶点，且3sinsinsin,5BCA求顶点A的轨迹方程。3sinsinsin,5BCA解：在△ABC中，|BC|=10，331061055ACABBC故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支又因c=5，a=3，则b=41(3)916xyx22则顶点A的轨迹方程为课堂练习191622yx1162022xy1、a=4，b=3,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是3、设双曲线上的点P到(5,0)的距离是15,则P到(-5,0)的距离是.191622yx7或234、如果方程表示双曲线，则m的取值范围是__________11222mymx2、焦点为（0,-6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标准方程是m|m－1或m－2知识迁移深化认知:双曲线:2标准方程)0,0(1122222222babxaybyax(3)应用(1)定义:||MF1|-|MF2||=2a（02a|F1F2|）由方程定焦点：椭圆看大小双曲线看符号知识迁移深化认知