固体物理答案

《固体物理学》习题解答(仅供参考)参加编辑学生柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章）指导教师黄新堂华中师范大学物理科学与技术学院2003级2006年6月1第一章晶体结构1.氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a。解：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na+和一个Cl－组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。由于NaCl和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：123()2()2()2aaaajkakiaij相应的晶胞基矢都为：,,.aaaaibjck2.六角密集结构可取四个原胞基矢123,,aaa与4a,如图所示。试写出13OAA、1331AABB、2255ABBA、123456AAAAAA这四个晶面所属晶面族的晶面指数hklm。解：(1)．对于13OAA面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12，１。所以，其晶面指数为1121。(2)．对于1331AABB面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12，。所以，其晶面指数为1120。(3)．对于2255ABBA面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1，，。2所以，其晶面指数为1100。(4)．对于123456AAAAAA面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：，，，１。所以，其晶面指数为0001。3.如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为：简立方：6；体心立方：38；面心立方：26；六角密集：26；金刚石：316。证明：由于晶格常数为a，所以：(1)．构成简立方时，最大球半径为2maR，每个原胞中占有一个原子，334326maVa36mVa(2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：43mRa，每个晶胞中占有两个原子，3343322348mVaa3238mVa(3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：42mRa，每个晶胞占有４个原子，3342244346mVaa3426mVa(4)．构成六角密集结构时，中间层的三个原子与底面中心的那个原子恰构成一个正四面体，其高则正好是其原胞基矢c的长度的一半，由几何知识易知463mRc。原胞底面边长为2mR。每个晶胞占有两个原子，333482233mmmVRR，原胞的体积为：23462sin60823mmmVRRR22632mVV(5)．构成金刚石结构时，14的体对角线长度等于两个最大球半径，即：324mRa，每个晶胞包含8个原子，33433883816mVaa38316mVa4.金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析的方法证明这一夹角为10928。证明：如图所示，沿晶胞基矢的方向建立坐标系，并设晶格常数为１。选择体对角线AB和CD，用坐标表示为{1,1,1}和{1,1,1}。所以,其夹角的余弦为：1cos3ABCDABCD1arccos()1092835.试求面心立方结构(110)和(111)晶面族的原子数面密度，设晶格常数为a。解：如图所示，面ABCD即(110)面，面CDE即为(111)面。设该面心立方的晶格常数为a，则在(110)面内选取只包含一个原子的面AFGD，其面积为22222aaa，所以其原子数面密4度为：221222aa在(111)面内选取只包含一个原子的面DHIG，其面积为：2223()sin234aa，所以其原子数面密度为：22143334aa6.若在面心立方结构的立方体心位置上也有一原子，试确定此结构的原胞，每个原胞内包含几个原子，设立方边长为a。解：这种体心立方结构中有五种不同的原子。顶角、体心上的原子是两种不同的原子，另外，面心上的原子前后、上下、左右的原子两两一组，是互不相同的原子。故此种结构共有五种不同的原子，整个面心立方就是一个原胞。每个原胞中的原子数为：118132582（个）7.底心立方（立方顶角与上、下底心处有原子）、侧心立方（立方顶角与四个侧面的中心处有原子）与边心立方（立方顶角与十二条棱的中点有原子）各属何种布拉维格子？每个原胞包含几个原子？解：这三种结构都属于简立方结构，原胞包含的原子数分别为：底心立方：1818侧心立方：1184382边心立方：118124848.试证六角密集结构中81.633ca5解：如图所示，ABC分别表示六角密集结构中中间层的三个原子，Ｄ表示底面中心的原子。DABC构成一个正四面体，为长为a。DOABC面，则2cDO3133,2326DEaOEaa，且DOOE则由勾股定理得，22336263ODaaa，2623cODa，2681.6333ca第二章晶体中的衍射1.试证明面心立方与体心立方互为正倒格子。方法1：6面心立方：123()2()2()2aaaajkakiaij（1）由正格子和倒格子的转换关系1232313122()/2()/2()/baabaabaa（2）其中：123()aaa得：1232()2()2()bijkabijkabijka（3）在体心立方中123()2()2()2aaijkaaijkabijk（4）由（2）式可得1232()2()2()bjkaakiaaija（5）比较（1）与（5），（3）与（4）便可得面心立方与体心立方互为正，倒格子。方法2：由方法一中的（1）可知正格子与倒格子之间存在如下关系：72ijijab10{ij,ijij由此可得面心立方的倒格子基矢：1232()2()2()bijkabijkabijka同理可得体心立方的倒格子基矢：1232()2()2()bjkaakiaaija比较可得面心立方和体心立方互为正倒格子。2.,,abc为简单正交格子的基矢，试证明晶面族（hkl）的晶面间距为2221/2[(/)(/)(/)]hkldhakblc解：,,,aaibbjcck()abcabc由19(2.2.7)p知***2()/2()/2()/abcbcacab可得：***222aiabjbckc***222hkhakblchikjlkabc再由22p中hk和hkld的关系：2/hhklkd可得：822222222()()()()()()hklhklabchklabchdk得证。3.六角密集结构如取如下原胞基矢1233,,2222aaaiajaiajcck试写出其倒格子基矢。方法一：21233()(3)()2222aaaacijijckac1222()/(33)3bacija2122()/(33)3bcaija解得。'1222()/caakc方法二：由正格子和倒格子之间的关系：2ijijab可得：111213223,,03bbbaa212123223,,03bbbaa'''31323320,0,cccc1222()/(33)3bacija2122()/(33)3bcaija'1222()/caakc94.如X射线沿简立方原胞的Oz负方向入射，求证当22/2/()alkl和2222cos()/()lklk时，衍射光线在yz平面上，为衍射线和Oz轴的夹角。证明：简立方的原胞的正格子基矢为：123aaiaajaak3a其倒格矢为：123222,biabjabka222hkhikjlkaaa由图可知：2221cossincos22llk2222222221/2221/2221/22sin22sin22()()()hllakllkmklkllkmklkl21/22将，代入得：2m（h）ah当m=1，2h=0时，上式可以成立当h=0时，hk只有,kj分量，即0k只有k分量，而0hkkk,k亦只有y，10z分量，即衍射光线在yz平面上。5.设在氯化钠晶体中，位于立方晶胞的（000），（1/21/20），（1/201/2）与（01/21/2）诸点；而Cl位于（1/21/21/2），（001/2），（01/20）与（1/200）诸点。试讨论衍射面指数和衍射强度的关系。解：25p中的（2.4.11）可知：22cos2()sin2()jjjjjjjjjjfmhumkvmlwfmhumkvmlwmh,mk,mlI对于氯化钠晶胞：cos()cos()cos()cos()coscoscosNaNaNaNaclclclclffmkmhfmkmlfmhmlfmkmhmlfmlfmkfmhmh,mk,mlI（1）当衍射面指数全为偶数时，216()NaclIff衍射强度最大，（2）当衍射面指数全为奇数时，216()NaclIff由于cl与Na具有不同的散射本领，使衍射指数全为奇数的衍射具有不为零但较低的强度。6.试求金刚石型结构的几何结构因子，设原子散射因子为f。解：几何结构因子()jikrjjFkfe其中jjjjruavbwc'''***0()hklhklKkkKmKmhakblc***2()/,2()/,2()/,abcbcacab()abc为晶胞的体积。jjjjruavbwc。金刚石型结构的晶胞内八个原子的位矢为（000），（1/21/21/2），（1/20111/2），（01/21/2），（1/41/41/4），（3/43/41/4），（3/41/43/4），（1/43/43/4）且八个原子为同种原子，金刚石型结构的几何结构因子为：111()()()()222331313133()()()222222222()imhklimhkimhlimlkimhklimhklimhklFKffefefefefefefe7.设一二维格子的基矢10.125anm,20.250anm,12aa与夹角a=120，试画出第一与第二布里渊区。二维倒格子基矢12,bb与正格子基矢间有如下关系：102,{ijijijba,ijij解：120.125;0.250anmanm令11,aaaai则23aaiaj12222233ijijbabijbjaaa，1223babijbj令。则b（3+）b中间矩形为第一布里渊区，阴影部分为第二布里渊区。8.铜靶发射0.154nm的X射线入射铝单晶，如铝（111）面一级布拉格反射角19.2，试据此计算铝（111）面族的间距d与铝的晶格常数。解：12**22211aibjkaaahklm*，，c，22223hhkijkkaaaa，2sinhkld00.2342sin19.2hkldnm222330.405hhklhk