初三数学上册讲义：二次函数与一元二次方程(知识点-典型例题-随堂练习-课后巩固)(无答案)

第1页第四讲：二次函数与一元二次方程姓名：_________日期_________知识梳理知识点一、二次函数与一元二次方程1、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc函数值0y时的特殊情况，图象与x轴的交点个数关系：（1）当240bac时，图象与x轴交于两点1200AxBx，，，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根．这两点间的距离2214bacABxxa.（2）当0时，图象与x轴只有一个交点；（3）当0时，图象与x轴没有交点.1'当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2'当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y．2、抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c3、二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxca本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元第2页二次方程之间的内在联系：知识点二、二次函数解析式的表示方法1.一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；2.顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；3.两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.知识点三、二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，一般选用顶点式．典例汇总1．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是________，________；(2)∵方程x2＋3x＋2＝0的解是________，________，∴抛物线y＝x2＋3x＋2与x轴的交点坐标是________和________，对称轴________。0抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.第3页2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是()A．x1＝－3，x2＝1B．x1＝3，x2＝1C．x＝－3D．x＝－23．若二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为()A．x1＝0，x2＝4B．x1＝－2，x2＝6C．x1＝32，x2＝52D．x1＝－4，x2＝04．已知抛物线y＝x2－6x＋m－1，当m________时，抛物线与x轴有两个交点；当m________时，抛物线与x轴有唯一交点；当m________时，抛物线与x轴没有交点．5．抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是_______6．若二次函数y＝x2－4x＋n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n＝_____．7．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c0的解集是()A．－1x5B．x5C．x－1D．x－1或x58．如图直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋nax2＋bx＋c的解集是_____________．9．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象如图所示，则下列结论正确的是()A．a＜0，b＜0，c＞0B．－b2a＝1C．a＋b＋c＝0D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根10．二次函数的图像经过点（0，－4），且当x=2，有最大值－2，求该二次函数的关系式。第4页11．已知函数．（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图像与轴都有两个不同交点；（2）若函数有最小值，求函数表达式．12．已知二次函数．（1）求证：当时，二次函数的图像与轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与轴交点为，，顶点为，且△ABC的面积为，求此二次函数的函数表达式．22yxmxmmxy542224yxmxm0mxxABC42第5页随堂练习1、抛物线y=x2－8x+c的顶点在x轴上，则c等于()A.－16B.－4C.8D.162、已知：关于x的函数772xkxy的图象与x轴总有交点，k的取值范围是（）A、k＞47B、k≥47且k≠0C、k≥47D、k＞47且k≠03、关于x的一元二次方程02nxx没有实数根，则抛物线nxxy2的顶点在（）A．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、已知抛物线y＝x2－2x＋1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－2m＋2018的值为()A．2015B．2016C．2017D．20185、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：x…－1013…y…－3131…下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4.其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个6、若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为________．7、若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，则抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为________、________．8、如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3和1，那么抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线________．9、抛物线的部分图象如图所示，则方程02cbxx的两根为.2yxbxc第6页10、已知关于x的二次函数y=2x－(3m+1)x＋m（m1）。证明使y=0的x的值有两个。11、已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，若，是方程的两根，且．（1）求，两点坐标；（2）求抛物线表达式及点坐标；（3）在抛物线上是否存在着点，使△面积等于四边形面积的2倍，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．22yaxbxcyCx1(0)Ax，212(0)()Bxxx，M41x2x222(1)70xmxm221210xxABCPPABACMBP第7页课后作业1、抛物线与轴有个交点，因为其判别式24bac0，相应二次方程的根的情况为．2、二次函数的图像与轴的交点坐标为．3、关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时．4、函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个5、关于的二次函数的图像与轴有交点，则的范围是（）[来源:Zxxk.Com]A．B．且[来源:Z#xx#k.Com][来源C．D．且6、函数的图象如图所示，那么关于的一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根7、已知抛物线的顶点在抛物线上，且抛物线在轴上截得的线段长是，求和的值．[来源:学科网]2283yxxx23280xx269yxxxx25mxmxm25ymxmxmxm22ymxxmmxx22(81)8ymxmxmxm116m116m≥0m116m116m0m2yaxbxcx230axbxc21()3yxhk2yxx43hk3Ｏxy