分式运算技巧汇编

分式运算技巧分式运算,一要准确,二要迅速,其中起着关键作用的就是通分.但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分,要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧.一、逐步通分法例1计算2111111xxx分析：此题若采用将各项一起通分后相加的方法，计算量很大．注意到前后分母之间存在着平方差关系，可逐步通分达到目的．解：原式=221212xx=414x评注：若一次通分，计算量太大，利用分母间的递进关系，逐步通分，避免了复杂的计算．依次通分构成平方差公式，采用逐步通分，则可使问题简单化。二、整体通分法例2计算112aaa分析题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式=11111)1)(1(1222aaaaaaaaa评注：此题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作分母为1的分式，再通分相加，使得问题的解法更简便．三、分裂整数法例3.计算：34452312xxxxxxxx分析如果几个分母不同通分时可使用分裂整数法，对分子降次后再通分.31412111)311()411()211()111(313414212111:xxxxxxxxxxxxxxxx原式解)4)(3(1)2)(1(1)3)(4()4(3)2)(1()1(2xxxxxxxxxxxx)4)(3)(2)(1(23127)4)(3)(2)(1()2)(1()4)(3(22xxxxxxxxxxxxxxxx)4)(3)(2)(1(1010xxxxx评注：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。四、裂项相消法例4计算)3)(2(1)2)(1(111xxxxx分析我们看到题目中每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分.解：原式=2131112111xxxxx=31x评注：本题若采用通分相加的方法，将使问题变的十分复杂，注意到分母中各因式的关系，再逆用公式)1(1111aaaa，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项法。五.见繁化简法例5.计算：343622322222xxxxxxxxx分析分式加减时，如果分母不同要先分解因式，再找到公分母，把每个分式的分母都化为公分母的形式解：原式)1)(3(3)2)(3(2)1)(2()1(2xxxxxxxxx)3)(2)(1()65()23()34(2113122222xxxxxxxxxxxx)3)(2)(1(2xxx评注：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。方能起到事半功倍的效率。六、挖掘隐含条件，巧妙求值例6若09x2，则3x6x5x2=___________。解：∵09x2，∴3x但考虑到分式的分母不为0，故x=3所以，原式03x)3x)(2x(说明：根据题目特点，挖掘题中的隐含条件，整体考虑解决方案是解决本类题目的关键。七、巧用特值法求值例7已知6z5y4x，则z3z4y3x2=_____________。解：此题可直接令x=4，y=5，z=6，代入得：原式636453421817说明：根据题目特点，给相关的字母赋予特定的数值，可简化求解过程。八、巧设参数（辅助未知数）求值例8已知实数x、y满足x:y=1:2，则yxyx3__________。解：设k2y1x，则kx，k2y，故原式31k2kk2k3说明：在解答有关含有比例式的题目时，设参数（辅助未知数）求解是一种常用的方法。九、整体代入例9若11xy=5，求3533xxyyxxyy的值．分析：将11xy=5变形，得x-y=-5xy,再将原式变形为3()5()3xyxyxyxy，把x-y=-5xy代入，即可求出其值．解：因为11xy=5，所以x-y=-5xy.所以原式=3()5()3xyxyxyxy=3(5)553xyxyxyxy=108xyxy=5.4说明：在已知条件等式的求值问题中，把已知条件变形转化后，通过整体代入求值，可避免由局部运算所带来的麻烦．十、倒数法例2已知a+1a=5．则2421aaa=__________.分析：若先求出a的值再代入求值，显然现在解不出．如果将2421aaa的分子、分母颠倒过来，即求4221aaa=a2+1+21a的值，再进一步求原式的值就简单很多．解：因为a+1a=5，所以（a+1a）2=25，a2+21a=23.所以4221aaa=a2+1+21a=24，所以2421aaa=1.24说明：利用x和1x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知式的联系，使一些分式求值问题思路自然，解题过程简洁．十一、主元法例11已知xyz≠0,且3x－4y－z=0,2x＋y－8z=0,求2222xyzxyyzzx的值.解：将z看作已知数，把3x－4y－z=0与2x＋y－8z=0联立，得3x－4y－z=0,2x＋y－8z=0.解得x=3z,y=2z.所以，原式=222(3)(2)(3)(2)(2)2(3)zzzzzzzzz=22141.14zz说明：当已知条件等式中含有多元（未知数）时（一般三元），可视其中两个为主元，另一个为常量，解出关于主元的方程组后代入求值，可使问题简化．十二、特殊值法例十二已知abc=1,则1aaba＋1bbcb＋1ccac=_________.分析：由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值．解：令a=1，b=1，c=1，则原式=11111+11111+11111=13+13+13=1.说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果．练习题：1.计算1211112xxx181484xx2.计算：200820071761541431321211答案：1.11616x；2.20082007；分式方程习题1．解方程：（1）233xx（2）1222xxx（3）263111xx（4）012142xx（5）12211xxx（6）21124xxx（7）423532xxx（8）21221xxx2.请选择一组,ab的值，写出一个关于x的形如2abx的分式方程，使它的解是0x，这样的分式方程可以是______________.3．若分式351xx无意义，当510322mxmx时，则m．4.若23ba，则2222369baa的值是。