数形结合

一、数形结合方法：就是在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。1、解析几何就是数形结合的光辉典范。2、三大几何问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角二、数形结合方法的应用1、构造几何图形解决代数问题xyrzxrxzzyxrzyx求证：都是正数，并且、已知例222222,,,,1分析：由已知条件数的结构特征，联想到勾股定理、射影定理，于是构造出如下的几何图形ABCxyzr。，另一个根小于一个根大于中有两个实数根，并且其、求证方程例aabaxax1))((2aaaxxafbaxaxxf另一个根小于于两个实根，且一个根大两侧，所以原方程有两个交点位于直线轴必有两个交点，且这于是抛物线与且抛物线的开口向上，向上的抛物线。由于其图像是开口，这是一个二次函数，分析：设,,01)(1))(()(xyao-1222222,,3zxzxzyzyyxyxzyx为正数，求证：、设例CABOzy，所以原不等式成立因为则由余弦定理可知连接设证明：构造如上图形，ACBCABzxzxACzyzyBCyxyxABCA,BC,AB120COABOCAOBzOZ,yOB,xOA2222220x有唯一解。为何值时，不等式组：当例4505422axxaxxa麻烦、冗繁。的取值范围，相当的要求来确定参数再按不等式组有唯一解的解集，参数组的方法，先求出含有分析：按通常解不等式aa之间。与直线轴恰好有一个点在抛物线取何值时，即为当由几何意义，此题所求452yxaxxya。时，不等式组有唯一解当得则顶点坐标（224420)420,2-420)2(522222aaaaaaaxaxxxyo4无解无穷多解唯一解22)1()1()1()1(:1,522222222bababababa的正数，求证都是小于、已知例ABCDOab取等号时且仅当所以原不等式成立，当由于，对角线证明：考虑单位正方形OBDACBDDOBOACCOAObaDObaCOabBObaAOBDACABCD22222222)1()1()1()1(2020526yxyx、解不等式组例02052yxyx与作直线解：在直角坐标平面上xoy1x-y+2=02x+y-5=02251xyxx不等式组的解集为20225052xyyxxyyx不等式组1)x1(z)z1(y)y1(x)1,0(z.y.x1皆有：证明对任意的练习2、构造几何图形解决三角问题CBACBAABCcotcotcottantantan1中，求证：、在锐角例)cba(2accbba0c,b,a:2222222，求证：设练习ABCD1原不等式得证所以因为，设中，作高在锐角)3()2()1()3(cottan)2(cottan)1(cot1tantan11ACCBBAABADADABC）刚学完三角函数的定义的三角函数值（说明、求例:1520ABCD12226CDACAD15DABADCAD2ABBDDCB90C,2AB,1AC,ABCRT2200则，连接使到延长设中解：在2615csc2615sec3215cot3215tan42615cos42615sin000000DCACADDCADAC3、用代数方法解决几何问题为等边三角形。。求证，且，、、分别相交于点、、例：如图，圆的三条弦PQRBQFRCPDREQAPRQPEFCDABAECDBAFRQP为等边三角形即得代入得由得即由相交弦定理可得证明：设PQR)3)(2)(1(0)()()3()2()1()3()2()1()()()()()()(zyxbazyxzyxbzyxabzaybxazbyaxRCDEFazbaybQABEFaxbazbPCDABaybaxbbBQFRCPaDREQAPzQRyPRxPQ4、用三角解决几何问题BEACCFACABBECFACABABCAB,求证：边上的高，、分别是、中，已知例、如图在ACBEF显然成立则证则因为即证只需证分析：要证0sin1sin0sin)(sinsinAAACABACABAACABACABAABACAACABBEACCFAB5、用坐标法解决几何问题取得最值的点。求使，且例：已知37212),(0,0124322yxyxyxMyxyxxB(4,0)yA(0,3)P(x,y)Q(6,1)0最小值的点。取得最大值的点与分别是使，点易看出的距离的平方，由图容到定点表示动点则且即表示线段，分析：约束条件)y,x(M)0,4(B)3,0(A.)y,x(Q)y,x(P)y,x(M)1y()6x(37y2x12yx)y,x(M]4,0[xAB0y0x12y4x32222我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗数形本是两依倚，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。