直线和椭圆的位置关系公开课课件

mx2+nx+p=0（m≠0）Ax+By+C=0由方程组：0方程组无解相离无交点=0方程组有一解相切一个交点0相交方程组有两解两个交点代数法=n2-4mp22221xyab这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。一：直线和椭圆的位置关系102222byaxCByAx与mxy6y3x222例1：当m取何值时，直线l：与椭圆相交、相切、相离？解：联立方程组mxy6y3x222消去y0636522mmxx6354622mm120603622mm120242m55,0mm或则5,0m则55,0m则相切相离相交分析:设00(,)Pxy是椭圆上任一点,试求点P到直线45400xy的距离的表达式.000022454045404145xyxyd且22001259xy尝试遇到困难怎么办?作出直线l及椭圆,观察图形,数形结合思考.例3:已知椭圆221259xy,直线45400xy,椭圆上是否存在一点,到直线l的距离最小?最小距离是多少?lmmoxyml解：设直线平行于，224501259xykxy由方程组22258-2250yxkxk消去，得22064-425-2250kk由，得（）450xyk则m可写成：12k25k25解得=，=-25.k由图可知例3:已知椭圆221259xy,直线45400xy,椭圆上是否存在一点,到直线l的距离最小?最小距离是多少?oxy45250mxy直线为：22402515414145mld直线与椭圆的交点到直线的距离最近。且思考：最大的距离是多少？max22402565414145d[例6]若直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，求实数m的取值范围．[分析]将直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆x25＋y2m＝1联立组成方程组，消去y变成关于x的一元二次方程，利用判别式Δ≥0，即可得解，或借助两曲线特征求解，或抓住定点在椭圆内部这一特征求解．[解析]方法一：由y＝kx＋1x25＋y2m＝1可得(5k2＋m)x2＋10kx＋5－5m＝0(m0)，∴Δ＝20m(m＋5k2－1)≥0恒成立，即m≥1－5k2,1－5k2≤1，∴m≥1恒成立，∴m≥1且m≠5.方法二：因为直线恒过一定点(0,1)，当m5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长b＝m，要使直线与椭圆恒有交点m≥1即1≤m5；当m5时，椭圆焦点在y轴上，短半轴长b＝5可保证直线与椭圆恒有交点即m5.综上所述：m≥1且m≠5.方法三：直线恒过一定点(0,1)要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(0,1)在椭圆上或内部025＋12m≤1即m≥1.∴m≥1且m≠5.[点评]直线与椭圆位置关系的判断(1)解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．(2)可首先判断直线是否过定点，并且确定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如方法二是根据两曲线的特征观察所得．方法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点M(x0，y0)在椭圆内部或在椭圆上则x20a2＋y20b2≤1.例1.已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。2112yxx2+4y2=2解：联立方程组消去y01452xx∆=360，因为所以方程（１）有两个根，变式1：交点坐标是什么？弦长公式：则原方程组有两组解.-----(1)22121214)kxxxx（2121||ABkxx所以该直线与椭圆相交.变式2：相交所得的弦的弦长是多少？117(1,),(,)2510AB由韦达定理12124515xxxxk表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标256AB设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，直线AB的斜率为k．弦长公式：考点二：弦长公式适用于任意二次曲线）（）（2122122122124114·1yyyykxxxxkAB例1：已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．222::4,1,3.abc解由椭圆方程知(3,0).F右焦点:3.lyx直线方程为22314yxxy258380yxx消得：1122(,),(,)AxyBxy设1212838,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85例2:已知点12FF、分别是椭圆22121xy的左、右焦点，过2F作倾斜角为4的直线交椭圆于A、B两点，求1FAB△的面积.分析:先画图熟悉题意,点1F到直线AB的距离易知,要求1FABS△,关键是求弦长AB.设1122(,),(,)AxyBxy.由直线方程和椭圆方程联立方程组焦点，过2F作倾斜角为4的直线，求1FAB△的面积.解:∵椭圆2212xy的两个焦点坐标12(1,0),(1,0)FF∴直线AB的方程为1yx由22112yxxy消去y并化简整理得设1122(,),(,)AxyBxy2340xx∴12124,03xxxx∴22221212121212()()2()2()4ABxxyyxxxxxx=423∵点1F到直线AB的距离d0(1)12=2∴112FABSdAB=142223=43.答:1FAB△的面积等于43例2:已知点12FF、分别是椭圆22121xy的左、右三、解答题6．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交与不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．[解析](1)由题意得a＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2.解得b＝2.所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.(2)由y＝kx－1，x24＋y22＝1，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2.所以|MN|＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝21＋k24＋6k21＋2k2.又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝|k|1＋k2，所以△AMN的面积为S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2.由|k|4＋6k21＋2k2＝103，解得k＝±1.1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：弦长公式：|AB|==（适用于任何二次曲线）212124·11yyyyk）（2122124·1xxxxk）（小结解方程组消去其中一元得一元二次型方程△0相离△=0相切△0相交