二次函数与一元二次方程的联系和区别

二次函数与一元二次方程的联系和区别一、二次函数1、自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向）①a0时，开口方向向上②a0时，开口方向向下③|a|还可以决定开口大小a绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大④一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。⑤常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）⑥抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=2ab,。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）⑦抛物线有一个顶点P，坐标为P[2ab，ab4ac42]。当2ab=0时，P在y轴上；当Δ=b2-4ac=0时，P在x轴上。2、二次函数的三种表达式①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）②顶点式：y=a(x-h)2+k[抛物线的顶点P（h，k）]③交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线](6)抛物线与x轴交点个数Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。二、一元二次方程y=ax2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0三、两者之间的联系①ax2+bx+c=0,即为y=ax2+bx+c，y=0时②方程的根x1，x2是使ax2+bx+c为零的x的取值③x1，x2对应图像上是ax2+bx+c=y函数与x轴交点的横坐标。④方程根的个数即是使ax2+bx+c=0的x的个数即是ax2+bx+c=yy=0,为ax2+bx+c=y图像与x轴的交点个数。⑤可以同时利用△，方程用它来判断根的个数△=0方程两个相等的实根△﹥0方程两个不等的实根△﹤0方程无实根函数用它来判断图像与x轴的交点个数△=0图像一个（两个相等）交点△﹥0方程两个不等的交点△﹤0方程无交点四、区别①说白了ax2+bx+c=0就是ax2+bx+c=y，y=0时的特例。我们研究函数是研究许多点组成的图像，研究方程是研究图像上至多一个或两个特殊的点。②函数和方程有区别，是整体概念与特殊的区别。学习时要联系起来，又不可以简单的混淆。