新北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明-章节全部知识框架

全等三角形性质等腰三角形等边三角形判定对应边相等对应角相等一般三角形全等的判定定理：SSSSASASAAAS两直角三角形全等的判定定理：HL定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。SSS：三边对应相等的两个三角形全等。SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。ASA：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。AAS：两角及一组内角的对边对应相等的两个三角形全等。可利用全等三角形的这一性质证明线段或角相等。性质判定①轴对称图形，顶角平分线（底边上的中线，底边上的高线）是对称轴。②两边相等（相等的边称为腰）→等边对等角。③两角相等（相等的两个角称为底角）→等角对等边。④“三线合一”：等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高线互相重合。⑤等腰三角形两底角平分线相等，两腰上的高线相等，两腰上的中线相等。（对称性全等）①根据定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。②根据推论：有两内角相等的三角形是等腰三角形。前提条件：在同一个三角形中，等角对等边，等边对等角。可用于证明线段或角相等（等腰三角形）③“三线合一”的逆定理：三角形中只要高线.中线.角平分线任意有二线重合,这个三角形是等腰三角形.A、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合B、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合C、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。（不能直接使用结论证明）性质判定①轴对称图形，内角平分线（各边中线，各边高线）都是对称轴。②三边都相等，三内角都相等且为60度。③“三线合一”且三角形三条中线高线角平分线交于一点O,这点到三顶点的距离相等（OA=OB=OC），到三边的距离相等（OD=OE=OF）。①有三边相等的三角形是等边三角形②有三内角相等的三角形是等边三角形。③有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。直角三角形性质判定北师大八年级下第一章三角形的相关证明①两锐角互余（两锐角相加为90度）②勾股定理（a²+b²=c²）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。③含有30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，60度角所对的直角边等于斜边的3/2倍，较长直角边是较短直角边的3倍。④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（直角三角形三边垂直平分线交于斜边中点上，从而此点到三顶点的距离相等）①两锐角互余（两锐角相加为90度）的三角形是直角三角形②有一个内角是90度的三角形是直角三角形。③勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。特殊线垂直平分线角平分线性质:垂直平分线上的任意点到线段两端点的距离相等。（等腰三角形中三线合一的线段就是底边上的垂直平分线）判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。（可用于证明点在直线上或三线共点的问题）三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线交于一点，且这点到三顶点的距离相等（外心）①作线段垂直平分线：以端点为圆心，以大于线段一半长为半径画弧，并连结四弧的交点的直线尺规作图作图应用①到两定点的距离相等：连结两定点的线段，并做其中垂线与已知直线的交点。（图一）②到两定点的距离最短：做短距离的点的对称点，并连结对称点与另一点与直线交点。（图二）③到三定点的距离相等：做三点所成三角形的两边垂直平分线的交点即可。（图三）性质:角平分线上的点到角两边的距离相等。（角也是轴对称图形，角平分线即是其对称轴）判定：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。三角形三内角平分线的性质：三角形三内角平分线交于一点，并且这个点到三边的距离相等。（内心）尺规作图：以角的顶点为圆心,以任意长为半径画弧交两边于两点,再以两交点为圆心,以相同长为半径画弧的交点与顶点的连线。