对数及对数函数典型例题精讲

对数与对数函数一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1．方程lgx＋lg(x＋3)＝1的解x为()A．1B．2C．10D．5解析B∵lgx＋lg(x＋3)＝lg10，∴x(x＋3)＝10.∴x2＋3x－10＝0.解得x＝2或－5(舍去)．2．“a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的()A．充分必要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析C显然函数f(x)＝lg(x＋1)，g(x)＝lg(2x＋1)在(0，＋∞)上均单调递增，所以“a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cbaC．bacD．bca解析4．(2013·蚌埠模拟)函数y＝log0.5x＋1x－1＋1(x1)的值域是()A．(－∞，－2]B．[－2，＋∞)C．(－∞，2]D．[2，＋∞)解析A∵x＋1x－1＋1＝x－1＋1x－1＋2≥2x－1·1x－1＋2＝4，∴y≤－2.5．函数f(x)＝2|log2x|的图象大致是()解析Cf(x)＝2|log2x|＝x，x≥1，1x，0x1，故选C.6．(2013·潍坊质检)设函数f(x)＝log2x的反函数为y＝g(x)，若g1a－1＝14，则a＝()A．－2B．－12C.12D．2解析C因为对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x互为反函数，所以g(x)＝2x.所以g1a－1＝21a－1＝14，即1a－1＝－2，解得a＝12.故选C.7.已知函数f(x)=1,01,88xxx,g(x)=x2log,则f(x)与g(x)两函数的图象的交点个数为（）A1B2C3D4答案：B8.函数f(x)=xalog(a0，a≠１），若)()(21xfxf=1,则)()(2221xfxf等于（）A2B1C21D2loga答案A二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)9．lg25＋lg2×lg50＋(lg2)2＝________.解析lg25＋lg2×lg50＋(lg2)2＝2lg5＋lg2×(2－lg2)＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＝2(lg5＋lg2)＝2.【答案】210．已知0ab1c，m＝logac，n＝logbc，则m与n的大小关系是(mn)11.已知f(x)=x2log,则)23()83(ff=212.已知)2(logaxya在1,0上是x的减函数，则a的取值范围是2,113.设m为常数，如果)34lg(2mxmxy的定义域为R，则m的取值范围是4,014．函数f(x)＝log12(2x2－3x＋1)的增区间是____________．解析∵2x2－3x＋10，∴x12或x1.∵二次函数y＝2x2－3x＋1的减区间是－∞，34，∴f(x)的增区间是－∞，12.【答案】－∞，12三、解答题(本大题共3小题，共40分)15．(12分)(2013·昆明模拟)求函数的定义域．解析要使函数有意义必须即3x－2x20，3x－2x2≤1，解得0x≤12或1≤x32，∴函数的定义域是x0x≤12或1≤x32.16．(12分)计算：(1)(log32＋log92)(log43＋log83)；(2)15lg32＋log416＋6lg12＋15lg15.解析17.已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)=4f(2)=16(1)求f(x)的解析式；（2）若g(x)=)1()(logaaxxfa在区间3,2上为增函数，求实数a的取值范围。（1,2）解析:(1)设f(x)=ax2+c,则441616caca,解得01ca2)(xxf(2)g(x)=3,2)(log2在axxa上单调递增解得,102422aaa1＜a＜218．已知函数f(x)＝logax＋bx－b(a0，b0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性；解析(1)令x＋bx－b0，解得f(x)的定义域为(－∞，－b)∪(b，＋∞)．(2)因f(－x)＝loga－x＋b－x－b＝logax＋bx－b－1＝－logax＋bx－b＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(3)令u(x)＝x＋bx－b，则函数u(x)＝1＋2bx－b在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数，所以当0a1时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是增函数；当a1时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数．