随机过程习题解析

随机过程习题解析（未完成版）8/31/2015121.令X(t)为二阶矩存在的随机过程.试证它是宽平稳的当且仅当EX(t)与EX(t)X(s+t)都不依赖s.证：充分性：若EX(s)与EX(s)X(s+t)都不依赖s则EX(s)=常数m,EX(s)X(s+t)=f(t)令s′=s+t,)EX(s)X(s′)=f(s′−s))RX(s,s′)=EX(s)X(s′)−EX(s)EX(s′)=f(s′−s)−m2)X(t)是宽平稳的必要性：若X(t)宽平稳则EX(S)为常数m，即EX(S)与s无关则RX(s,s′)=EX(s)X(s′)−EX(s)EX(s′)=g(s′−s)令s′=s+t则EX(s)X(s+t)=m2+g(t)与s无关2.记U1,···,Un为在(0,1)中均匀分布的独立随机变量.对0t,x1定义I(t,x)=1,x6t,0,xt,并记X(t)=1nn∑k=1I(t,Uk),06t61,这是U1,···,Un的经验分布函数.试求过程X(t)的均值和协方差函数.解：EX(t)=E[1nn∑k=1I(t,Uk)]=EI(t,U1)=∫t01dx=t3Rx(s,t)=E[X(s)X(t)]−EX(s)EX(t)=E[1n2n∑i=1I(s,Ui)·n∑j=1I(s,Uj)]−st=1n2[(n2−n)E(I(s,U1)·I(t,U2))+nE(I(s,U1)·I(t,U1)]−st=1n2[(n2−n)st+n·min(s,t)]−st=1n[min(s,t)−st]3.令Z1,Z2为独立的正态随机变量,均值为0,方差为σ2,λ为实数.定义过程X(t)=Z1cosλt+Z2sinλt.试求X(t)的均值函数和协方差函数.它是宽平稳的吗?解：EX(t)=cosλtEZ1+sinλtEZ2=0RX(s,t)=Cov(Z1cosλs+Z2sinλs,Zzcosλt+Z2sinλt)=cosλscosλtCov(Z1,Z1)+sinλssinλtCov(Z2,Z2)=σ2cosλ(s−t)只与s−t有关,)是宽平稳的4.Poisson过程X(t),t0满足(i)X(t)=0;(ii)对ts,X(t)−X(s)服从均值为λ(t−s)的Possion分布;(iii)过程是有独立增量的.试求其均值函数和协方差函数.它是宽平稳的吗?解：EX(t)=E[X(t)−X(0)]=λtRX(s,t)=Cov(X(t),X(s))=Cov(X(s)−X(t)+X(t)−X(0),X(t)−X(0))=Cov(X(t)−X(0),X(t)−X(0))（独立增量）=λt(st))非宽平稳5.X(t)为第4题中的Possion过程.记Y(t)=X(t+1)−X(t),试求过程Y(t)的均值函数和协方差函数,并研究其平稳性.4解：EY(t)=EX(t+1)−EX(t)=λRX(s,t)=Cov(X(s+1)−X(s),X(t+1)−X(t))=Cov(X(s+1),X(t+1))+Cov(X(s),X(t))−Cov(X(s),X(t+1))−Cov(X(s+1),X(t))=λ[min(s+1,t+1)+min(s,t)−min(s,t+1)−min(s+1,t)]令β=s−t,当β1或β−1时,RY(s,t)=0当0β61时,RY(s,t)=λ(t+1+t−s−t)=λ(t−s+1)当−16β60时,RY(s,t)=λ(s+1+s−s−t)=λ(s−t+1))宽平稳6.令Z1和Z2是独立同分布的随机变量.P(Z1=−1)=P(Z1=1)=12.记X(t)=Z1cosλt+Z2sinλt,t∈R.试证X(t)是宽平稳的,它是严平稳的吗?解：EZ1=EZ2=0EX(t)=cosλtEZ1+sinλtEZ2=0RX(s,t)=Cov(Z1cosλs+Z2sinλs,Z1cosλt+Z2sinλt)=cosλscosλtCov(Z1,Z1)+sinλssinλtCov(Z2,Z2)=2cosλ(s−t)VarZ1=2cosλ(s−t)(E(Z21)−E2(Z1))=cosλ(s−t))是宽平稳Ft(x)=P(Z1cosλt+Z2sinλt6x)考虑Ft(x)=P(Z1cosλt+Z2sinλt60)当t=0时Ft(0)=P(Z160)=12当t=π4λ时Ft(x)=P(√22(Z1+Z2)60)=34)Ft(x)与t有关,故X(t)不是严平稳过程7.试证：若Z0,Z1,···为独立同分布随机变量,定义Xn=Z0+Z1+···+Zn,则{Xn,n0}是独立增量过程.证：Xn−Xn−1=Zn)X1−X0,X2−X1,···,Xn−Xn−1即Z1,Z2,···,Zn独立同分布){Xn,n0}为独立增量过程又Xt1+h−Xt1=Zt1+1+···+Zt1+h5Xt2+h−Xt2=Zt2+1+···+Zt2+h*Zn独立同分布)Zt1+1+···+Zt1+hd=Zt2+1+···+Zt2+h)是平稳的逆命题：已知Xn=n∑i=0Zi,过程{Xn,n0}是平稳独立增量过程)Xi−Xi−1=Zi与Xj−Xj−1=Zj独立同分布即Zi,i=0,1,···是一串独立同分布的随机变量8.若X1,X2,···为独立随机变量,还要添加什么条件才能确保它是严平稳的随机过程?解：若{X1,X2,···}严平稳,则对任意正整数m和n,Xm和Xn的分布都相同,从而X1,X2,···是一列同分布的随机变量.而当X1,X2,···是一列独立同分布的随机变量时.对任意正整数k及n1,···,nk,k维随机向量(Xn1,···,Xnk)的分布函数为(记X1,X2,···的共同分布函数为F(x))F(Xn1,···,Xnk)(x1,···,xk)=FXn1(x1)···FXnk(xn)=F(x1)···F(xk).−∞x1,···,xk+∞.这说明了(Xn1,···,Xnk)的分布函数与n1,···,nk无关,故{X1,X2,···}严平稳.9.令X和Y是从单位圆内的均匀分布中随机选取一点所得的横坐标和纵坐标.试计算条件概率P(X2+Y234XY).解：易见答案为14.12.气体分子的速度V有三个垂直分量Vx,Vy,Vz,它们的联合分布密度依Maxwell−Boltzman定律为fVx,Vy,Vz(v1,v2,v3)=1(2πkT)3/2exp{−(v21+v22+v232kT)},其中k是Boltzman常数,T为绝对温度,给定分子的总动能为e.试求x方向的动量的绝对值的期望值.解：由题中所给分布律知分子质量为单位质量,即有e=12(V2x+V2y+V2z).则所求为E[|Vx|12(V2x+V2y+V2z)=e]6作(Vx,Vy,Vz)的球坐标变换Vx=RcosΦVy=RcosΘsinΦVz=RsinΘsinΦ,则(R,Θ,Φ)的联合概率密度为fR,Θ,Φ(r,θ,ϕ)=fVx,Vy,Vz(rcosϕ,rcosθsinϕ,rsinθsinϕ)·r2sinϕ=√2r2√π(kT)3/2e−r2/2kT·12π·12sinϕ=fR(r)fΘ(θ)fΦ(ϕ)由此可知R,Θ,Φ相互独立.)E[|Vx|12(V2x+V2y+V2z)=e]=E[R|cosΦ|12R2=e]=E[R|cosΦ|R=√2e]=√2eE[R|cosΦ|]=√2e∫π012sinϕ|cosϕ|dϕ=√e213.若X1,X2,···,Xn独立同分布.它们服从参数为λ的指数分布.试证n∑i=1Xi是参数为(n,λ)的Γ分布,其密度为f(t)=λexp{−λt}(λt)n−1/(n−1)!,t0.证：令Y=n∑i=1XigY(t)=gnX(t)=(λλ−t)n)Y服从参数为(n,λ)的Γ分布,其密度函数如题所述14.设X1和X2为相互独立的均值为λ1和λ2的Possion随机变量.试求X1+X2的分布,并计算给定X1+X2=n时X1的条件分布.解：令Y=X1+X27gY(t)=gX1(t)gX2(t)=eλ1(et−1)eλ2(et−1)=e(λ1+λ2)(et−1))Y∼P(λ1+λ2))给定X1+X2=n时X1服从参数为p=λ1λ1+λ2,n=n的二项分布15.若X1,X2,···独立且有相同的以λ为参数的指数分布,N服从几何分布,即P(N=n)=β(1−β)n−1,n=1,2,···,0β1.试求随机和Y=N∑i=1Xi的分布.解：E(etY|N=n)=gnX(t)=(λλ−t)n∆=αn)gY(t)=E[E(etY|N)]=E(αN)=+∞∑n=1β(1−β)n−1αn=+∞∑n=1αβ(α−αβ)n−1当|α−αβ|1时gY(t)=αβ1−α(1−β)=λβλβ−t)Y服从参数为λβ的指数分布16.若X1,X2,···独立同分布,P(Xi=±1)=12.N与Xi,i1独立且服从参数为β的几何分布,0β1.试求随机和Y=N∑i=1Xi的均值,方差和三、四阶矩.解：E(etY|N=n)=gnX(t)=En(etY)=(et+e−t2)n)gY(t)=E[E(etY|N)]=E[(et+e−t2)N]=+∞∑n=1(et+e−t2)nβ(1−β)n−18)EY=g′Y(0)=+∞∑n=1n(et+e−t2)n−1β(1−β)n−1et−e−t2t=0=0EY2=g′′Y(0)=+∞∑n=1[n(n−1)(et+e−t2)n−2β(1−β)n−1(et−e−t2)2+n(et+e−t2)nβ(1−β)n−1]t=0=+∞∑n=1nβ(1−β)n−1=1βVarY=EY2−(EY)2=1β2EY3=g(3)Y(0)=(+∞∑n=1{nβ(1−β)n−1[(n−1)(et+e−t2)n−2et−e−t22+(et+e−t2)n]})′t=0=+∞∑n=1{nβ(1−β)n−1[(n−1)(n−2)(et+e−t2)n−2(et−e−t2)3+(n−1)(et+e−t2)n−2·2·et−e−t2·et+e−t2+n·(et+e−t2)n−1·et−e−t2]}t=0=0EY4=g(4)Y(0)=+∞∑n=1{nβ(1−β)n−1[(n−1)(et+e−t2)n−1(et+e−t)+n(et+e−t2)n]}t=0=+∞∑n=1(3n2−2n)β(1−β)n−1=3+∞∑n=1n2β(1−β)n−1−2+∞∑n=1nβ(1−β)n−1=3(1−ββ2+1β2)−21β2=6−5ββ217.随机变量N服从参数为λ的Possion分布.给定N=n,随机变量M服从以n和p为参数的二项分布.试求M的无条件概率分布.9解：E(etM|N=n)=(pet+(1−p))n∆=angM(t)=E(aN)=+∞∑n=0anλnn!e−λ=eλp(et−1))M∼P(λp)101.N(t)为一Possion过程,对st试求条件概率P{N(s)=k|N(t)=n}.解：P{N(s)=k|N(t)=n}=P(N(s)=k,N(t)=n)/P(N(t)=n)=P(N(s)−N(0)=k,N(t)−N(s)=n−k)/P(N(t)=n)=[(λsk)e−λsk!·(λ(t−s))n−ke−λ(t−s)(n−k)!]/[(λt)ne−λtn!]=n!k!(n−k)!(st)k(1−st)n−k2.{N(t),t0}为一强度是λ的Possion过程.对s0试计算E[N(t)·N(t+s)].解：原式=E[N(t)(N(t+s)−N(t)+N(t))]=E(N(t))E(N(t+s)−N(t))+E(N2(t))=λt·λs+VarN(t)+E2N(t)=λ2ts+λt+(λt)2=λ2t(s+t)+λt3.电报依平均速率为每小时3个的Possion过程到达电报局,试问:(i)从早上八时到中午没收到电报的概率;(ii)下午第一份电报到达时间的分布是什么?解:(i)令t的计时单位为小时,并以早上8:00为起始时刻所求事件即