专题(六)-与角平分线有关的辅助线

第十二章全等三角形八年级上册人教版数学专题(六)与角平分线有关的辅助线类型一：利用角平分线截长构造SAS型全等方法技巧：因角平分线已具备全等三个条件中的两个(角等、公共边等)条件，故在角的两边截取相等的线段构造SAS全等三角形．1．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.解：在BC上截取BF＝AB，连接EF，在△ABE和△FBE中，AB＝BF，∠ABE＝∠FBE，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE(SAS)，∴AE＝EF，∠AEB＝∠FEB，∵AB∥CD，∴12∠ABC＋12∠BCD＝90°，∴∠BEC＝90°，∵∠AEB＋∠CED＝90°，∠BEF＋∠FEC＝90°，∴∠FEC＝∠CED，∵EC＝EC，∠FCE＝∠DCE，∴△FEC≌△DEC(ASA)，∴FC＝CD，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CD2．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O.(1)求∠AOC的度数；(2)求证：AC＝AE＋CD.解：(1)∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°－∠B＝120°，∴∠2＋∠3＝60°，∴∠AOC＝180°－60°＝120°(2)在AC上截取AF＝AE，连接OF，∵AE＝AF，∠1＝∠2，AO＝AO，∴△AEO≌△AFO(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF.∵∠AOC＝120°，∴∠AOE＝60°，∴∠AOF＝∠COF＝60°，在△OFC和△ODC中，∠FOC＝∠DOC＝60°，OC＝OC，∠3＝∠4，∴△OFC≌△ODC(ASA)，∴FC＝DC，∵AF＋FC＝AC，∴AC＝AE＋CD3．在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点．求证：AB－AC＞PB－PC.解：在AB上截取AN＝AC.连接PN，易证△APN≌△APC(SAS)，∴PN＝PC，∵在△BPN中，PB－PN＜BN，∴PB－PC＜AB－AN.∴AB－AC＞PB－PC类型二：利用角平分线作垂线构造AAS或ASA型全等方法技巧：因角平分线已具备全等三个条件中的两个(角等、公共边等)条件，故可向角的两边作垂线．构造AAS或ASA全等三角形．4．如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的角平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于C，D，PC和PD有怎样的数量关系？请说明理由．解：PC＝PD.理由：如图，过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∴∠CFP＝∠OFP＝∠DEP＝90°.又∵∠AOB＝90°，∴∠FPE＝90°.∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF.∵∠1＋∠FPD＝90°，∠2＋∠FPD＝90°，∴∠1＝∠2.在△CFP和△DEP中，∵∠CFP＝∠DEP，PF＝PE，∠1＝∠2，∴△CFP≌△DEP(ASA)，∴PC＝PD5．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE＝12(AB＋AD)，求∠ABC＋∠ADC的度数．解：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，∵AE＝12(AB＋AD)，∴AB＋AD＝2AE，∵AC平分∠BAD，即∠DAC＝∠CAB，且CE⊥AB，CF⊥AD，∴CF＝CE，又∵AC＝AC，∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，∴AF＝AE，∴AB＋AD＝AE＋AF，∴AB－AE＝AF－AD，即BE＝DF，∴Rt△CFD≌Rt△CEB(SAS)，∴∠ABC＝∠CDF，∴∠ABC＋∠ADC＝∠CDF＋∠ADC＝180°